バートランドのボックスパラドックスのモンテカルロシミュレーションをプログラムする方法は？

次の問題がメンサインターナショナルのFacebookページに投稿されました。

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

投稿自体には1000件以上のコメントが寄せられましたが、ここでの議論については詳しく説明しません。これはバートランドの箱のパラドックスであり、答えは。ここで私が興味を持っているのは、モンテカルロ法を使用してこの問題にどのように答えるかです。この問題を解決するアルゴリズムはどのようになっていますか？$\frac23$

私の試みは次のとおりです。

1. 0から1までの均一に分布した乱数を生成します。$N$$0$$1$
2. ボックスのイベントに、半分未満に選択された2つの金のボール（ボックス1）が含まれているとします。
3. 未満の数値をカウントし、結果をSとして呼び出します。$0.5$$S$
4. ボックス1が選択されている場合はゴールドボールを取得するのは確実であり、ボックス2が選択されている場合はゴールドボールを取得する可能性は50％だけなので、シーケンスGGを取得する確率は $$P(B2=G|B1=G)=\frac{S}{S+0.5(N-S)}$$

Rで上記のアルゴリズムを実装する：

N <- 10000
S <- sum(runif(N)<0.5)
S/(S+0.5*(N-S))

$0.67$

同様@Henry、私は本当にあなたのソリューションは、モンテカルロであることを感じることはありません。確かに、ディストリビューションからサンプリングしますが、データ生成プロセスを模倣することとはあまり関係がありません。モンテカルロを使用して、理論的な解決策が正しいことを誰かに納得させたい場合は、データ生成プロセスを模倣する解決策を使用する必要があります。私はそれが以下のようなものになると想像します：

boxes <- list(
  c(0, 0),
  c(0, 1),
  c(1, 1)
)

count_successes = 0
count_valid_samples = 0

for (i in 1:5000) {
  sampled_box <- unlist(sample(boxes, 1)) # sample box
  sampled_balls <- sample(sampled_box)    # shuffle balls in the box

  if (sampled_balls[1] == 1) {            # if first ball is golden
    if (sampled_balls[2] == 1) {          # if second ball is golden
      count_successes = count_successes + 1
    }
    count_valid_samples = count_valid_samples + 1
  }
}
count_successes / count_valid_samples

または、「ベクトル化された」コードを使用します。

mean(replicate(5000, {       # repeat 5000 times, next calculate empirical probability
  x <- boxes[[sample(3, 1)]] # pick a box
  if (x[sample(2, 1)] == 1)  # pick a ball, check if it is golden
    return(sum(x) == 2)      # check if you have two golden balls in the box
  else
    return(NA)               # ignore if sampled ball is silver
  }), na.rm = TRUE)          # not count if silver

最初のボールがすでに描かれ、それが黄金色であるという事実を条件としているため、上記のコードは単純に2つのボックスboxes <- list(c(0, 1), c(1, 1))を使用しx <- boxes[[sample(2, 1)]]、それらからサンプリングできるため、コードは1/3にならないため高速になります割引する空のラン。ただし、問題は単純で、コードは高速で実行されるため、データ生成プロセス全体を明示的にシミュレートして、結果が正しいことを「確認」する余裕があります。それに加えて、両方のケースで同じ結果が得られるため、この手順は必要ありません。

あなたのS/(S+0.5*(N-S))計算は本当にシミュレーションではないと思います

このようなものを試してください

N <- 10^6
ballsinboxes <- c("G","G", "G","S", "S","S")
selectedbox <- sample(c(1,2,3), N, replace=TRUE)
selectedball <- sample(c(1,2), N, replace=TRUE)
selectedcolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + selectedball ]
othercolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + 3 - selectedball ]
sum(selectedcolour == "G" & othercolour == "G") / sum(selectedcolour == "G")

なぜ単純にケースをリストしないのですか？

ここで、Gは「ゴールド」、Sは「シルバー」、大文字は最初の抽出用です。

GG

gG

Gs

...その他のすべてのケースは、最初の銀（S）抽出を実行し、条件（最初の抽出G）を満たしません。

このように、P（g | G）= 2/3。