2つの対称rvの差も対称分布ですか？

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（中央値に関して）2つの異なる対称分布とがある場合、差も対称（中央値に関して）分布ですか？ $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— アレッシオ93
ソース

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分布

、それが対称的に分布したランダム変数の間の差の分布だ「二つの分布間の差」はありません。差分布があろう

。これは分布ではありません。同様に、PDFの違いはPDFにはなりません...タイトルの説明を修正してください

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— Glen_b -Reinstate Monica

2

@Glen_b：私はそのようにOPのタイトルを編集しましたが、今後は先に進んで自分で編集してください。口語的に私は誰もがOPの意味を理解したと思います。

— smci

@smci実際、私は理由のために自分で行うのではなく、OPにそれを行うように依頼することを選びました（私のプロフィールを確認すると、3100を超える投稿が編集されていることがわかります-編集に関する一般的なルールを理解しています）。でも、助けてくれてありがとう。私はまた、意味を表現することでもう少し注意すると、現場での初心者の質問のかなりの部分を解決できると思います。タイトルでは明快さが特に重要だと思います。

— Glen_b-2017

回答:

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LET と中央値に対して対称PDFファイルであるとそれぞれ。とが独立している限り、差の確率分布はと畳み込みです。つまり、 $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

ここで、単にオーバーPDFであるの中央値を有する $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

直観的に、結果はに関して対称であると期待するので、それを試してみましょう。 $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

2行目では、積分に置換を使用しました。3行目に、私は、両方の対称使用についての約これは、がについて対称で、がについて対称である場合がについて対称であることを証明します。 $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

場合及び独立していなかった、とと単に周辺分布した、我々は、結合分布を知っている必要がある次に、積分では、をに置き換える必要があり $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$ ただし、周辺分布が対称であるという理由だけで、結合分布がその各引数について対称であるとは限りません。したがって、同様の推論を適用することはできません。

— ブリッジバーナー
ソース

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これは、と関係に依存します。ここでは、とが対称である反例を示しますが、はそうではありません。 $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

$x-y$ $x-y$

編集する

これは@whuberの表記でより明確になる可能性があります。

$x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

$x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

— グレッグ・スノー
ソース

4

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

5

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

1

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

1

コメントと編集により、あなたの意図が明確になりました。ありがとう。

— amoeba

6

$X-Y$

— ムーアマンリー
ソース

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