3つの相関した一様分布のランダム変数を生成する

私たちが持っていると仮定します

X_{1} \sim unif (n, 0, 1),

$X_1 \sim \textrm{unif}(n,0,1),$

X_{2} \sim unif (n, 0, 1),

$X_2 \sim \textrm{unif}(n,0,1),$

ここで、 $\textrm{unif}(n,0,1)$ はサイズnの一様ランダムサンプルであり、

Y = X_{1},

$Y=X_1,$

Z = 0.4 X_{1} + \sqrt{1 - 0.4} X_{2} .

$Z = 0.4 X_1 + \sqrt{1 - 0.4}X_2.$

この場合、と相関はです。 $Y$ $Z$ $0.4$

これを3つの変数、、に拡張するにはどうすればよいですか？ $X_1$ $X_2$ $X_3$

r correlation random-generation uniform

— user9292
ソース

読みやすくするために質問を編集しました。すべてが正常であることを確認してください。あなたの質問に関して、どのような意味で手続きを延長しますか？相関関係は2つのランダム変数に対して定義されているので、私があなたの言うことを理解するのは明確ではありません。

— ocram

は均一ではないため、その結果を一般化しようとしている場合、3つの相関した均一なRVを生成しようとしているようには見えません。

と

間の相関を計算する方法について疑問がありますか？

Z

$Z$

X_{1}

$X_1$

a X_{1} + b X_{2} + c X_{3}

$aX_1+bX_2+cX_3$

— MånsT

我々きたと仮定

、

、及び

、

。では、

と

何ですか？

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{3}

$X_3$

u n i f (n, 0, 1)

$~unif(n,0,1)$

Y = f (X_{2}, X_{3})

$Y=f(X_2,X_3)$

Z = f (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$Z=f(X_1,X_2,X_3)$

Y

$Y$

Z

$Z$

— user9292

{Distributions of correlated uniforms} \subset {Copulas}

$\{\text{Distributions of correlated uniforms}\} \subset \{\text{Copulas}\}$

— 枢機

なぜnは議論に入るのですか？X1とX2が単変量のランダム変数である場合、それらは単に[0,1]で一様ではありませんか？

— マイケルR.チャーニック

回答:

質問にはコメントに記載されているいくつかのエラーが含まれています。質問で定義されているように、Zは均一ではなく、指定された相関もありません。

枢機はコピュラに言及しており、それが最も一般的な方法です。ただし、相関ユニフォームを取得するための非常に簡単な方法がいくつかあります（これは、さまざまな種類のコピュラへの単なるショートカットと見なすことができます）。

それでは、相関ユニフォームのペアを取得するいくつかの方法から始めましょう。

1）2つのユニフォームを追加すると、結果は均一ではなく三角形になります。ただし、結果の変数のcdfを変換として使用して、結果を均一に戻すことができます。もちろん、結果はもはや線形相関していません。

（0,2）上の対称三角形を標準均一に変換するR関数を次に示します。

t2u = function(x) ifelse(x<1, x^2, 2-(2-x)^2)/2

ユニフォームを与えることを確認しましょう

u1 = runif(30000)
u2 = runif(30000)
v1 = t2u(u1+u2)

ここに画像の説明を入力してください

そして、それはu1とu2と相関しています：

> cor(cbind(u1,u2,v1))
            u1          u2        v1
u1 1.000000000 0.006311667 0.7035149
u2 0.006311667 1.000000000 0.7008528
v1 0.703514895 0.700852805 1.0000000

均一性への単調変換のため、線形ではありません

ここに画像の説明を入力してください

これをツールとして使用すると、3つの等相関ユニフォームを取得するための追加変数を生成できます。

u3 = runif(30000)
v2 = t2u(u1+u3)
v3 = t2u(u2+u3)

cor(cbind(v1,v2,v3))
          v1        v2        v3
v1 1.0000000 0.4967572 0.4896972
v2 0.4967572 1.0000000 0.4934746
v3 0.4896972 0.4934746 1.0000000

v変数間の関係はすべて次のようになります。

ここに画像の説明を入力してください

2番目の選択肢は、混合物を生成することです。ユニフォームを合計する代わりに、固定確率でそれらを取ります。

例えば

z = ifelse(rbinom(30000,1,.7),u1,u2)

cor(cbind(u1,z))
          u1         z
u1 1.0000000 0.7081533
z  0.7081533 1.0000000

ここに画像の説明を入力してください

再びこれを使用して、複数の相関ユニフォームを生成できます。

3番目の簡単なアプローチは、相関法線を生成し、均一性に変換することです。

n1=rnorm(30000)
n2=rnorm(30000)
n3=rnorm(30000)
x=.6*n1+.8*n2
y=.6*n2+.8*n3
z=.6*n3+.8*n1
cor(cbind(x,y,z))

          x         y         z
x 1.0000000 0.4763703 0.4792897
y 0.4763703 1.0000000 0.4769403
z 0.4792897 0.4769403 1.0000000

それで、均一に変換します。

w1 = pnorm(x)
w2 = pnorm(y)
w3 = pnorm(z)
cor(cbind(w1,w2,w3))
          w1        w2        w3
w1 1.0000000 0.4606723 0.4623311
w2 0.4606723 1.0000000 0.4620257
w3 0.4623311 0.4620257 1.0000000

ここに画像の説明を入力してください

方法2と3の利点の1つは、相関関係のあるものを選択するのに十分な多様性があることです（ここの例のように等相関する必要はありません）。

もちろん、他にもさまざまなアプローチがありますが、これらはすべて迅速かつ簡単です。

トリッキーな部分は、望ましい母集団相関を正確に取得することです。相関ガウス分布が必要な場合ほど単純ではありません。乱数のペアを生成し、均一に分散し、相関させることでのQuantibexの答えは、ここで3番目の方法を修正するアプローチを提供します。

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

グレン_b。ありがとう、非常に美しくて興味深い答えです！

— user9292

3番目のアプローチの0.6と0.8がどこから来たのかわかりません。

— マヌエル

ρ

$\rho$

ρ N_{i} + \sqrt{1 - ρ^{2}} N_{j}

$\rho N_i + \sqrt{1-\rho^2} N_j$

N_{i}

$N_i$

N_{j}

$N_j$

ρ

$\rho$

N_{i}

$N_i$

\sqrt{1 - ρ^{2}}

$\sqrt{1-\rho^2}$

N_{j}

$N_j$

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

$X_1,X_2$ $Z$ $X_1$ $0.4$ $0.4$ $Y$ $Y = 0.4X_1+\sqrt{1-(0.4)^2}X_2$

$\rho$ $\cos$ $2$ $3$ $\cos$ $0$

これにより、ベクトルをその直交成分に分解するのと同じ方法で、系列をその成分に分解する方法が開始されます。

— ドミトリー・ルバノビッチ
ソース