書き換え:2018年1月16日
セクション1:概要
この投稿の基本的な結果は次のとおりです。
- 中間のボールは、ステップが進むときに、約の確率で限界に確率があります。これは、現実世界の観測であり、数学的に導出されたものです。
派生関数は有理数の領域を持ちます。たとえば、残りの半分のボールの限界の確率は領域値対応します。この関数は、ステップサイズ。0.91∞
(0,1]1/2
- ロスの分析は間違っていませんが、大きさ順に有理数を反復しようとするため不完全。
理性は大きさの順に反復することはできません。したがって、Rossの分析は完全なドメインにアクセスできず、全体的な動作の限られたビューしか提供できません。(i,∞),i=1..∞
- しかし、ロスの分析では、1つの特定の観測可能な動作が考慮されています。限界では、1からの連続反復を通じて、最初の残りのボールセットに到達することはできません。
- ロスのリミットシーケンスには、直感的にユニークであると思われる優れた説得力のあるプロパティがいくつかあります。
ただし、同じ素晴らしいプロパティを満たし、関数の値を提供する制限シーケンスの別のセットを示します。
セクション2「表記と用語」では、この投稿で使用されている表記と用語について説明します。
セクション3「ハーフウェイボールセット」では、実際の観察結果を紹介します。インデックスが挿入されたすべてのボールの中間にあるボールが残る確率の限界に収束します。この制限値は約91%です。ハーフウェイボールセットの場合は、任意の有理数に一般化されます。これらはすべて非ゼロの制限値を持ちます。 (0,1]
セクション4「パラドックスの解決」は、ロスの結果と「合理的領域」の結果(ここで説明)の両方を含めるための統一されたフレームワークを示しています。既に述べたように、ロスの分析は、全体的な行動の限定的なビューを提供するだけです。したがって、パラドックスの原因が特定され、解決されます。
付録では、重要性の低い他の結果について説明します。
- 「限界の予想」は、ステップサイズの端数までの残りのボールの予想数を計算します。
- この結果の帰結は、1より大きいままであると予想される最初のボールのインデックスを決定することです。
セクション2:表記法と用語
- 我々はステップで挿入ボールインデックスラベルとして
、これは呼設定 "ballset"番目。ボールセットは、この投稿用に作成された1つの単語です。
この用語は、残念ながらロスの用語とは異なりますが、テキストをより明確かつ短くします。n{n.1,n.2,n.3,.....n.10}n
- 表記は、ボールボールがステップに留まりボールの他のボールを無視するイベントを指します。E(a,b)a.1ab
- 表記の略語であるとそれの確率を指す。
ボールセットすべてのボールは、同じ確率で残っていることに注意してください。
-の値されている。P(a,b)P(E(a,b))E(a,b)
a.ia
P(E(a,b))∏bk=a9k(9k+1)
- ロス限界、確率であるのように無限大に行く:
-P(a)P(a,b)b
Plim1(a)=limb→∞P(a,b)
- 有理制限は、ボールインデックスとステップ両方が一定の比率を維持しながら無限大になるときの制限として定義されます。-abPlim2(a,b)=limk→∞P(ka,kb)
セクション3:ハーフウェイボールセット
偶数ステップごとに、中間ボールセットは番目のボールセットとして定義されます。偶数ステップごとに、残りの半分の確率はとして定義されます。したがって、
としての制限では、残りの半分の確率は
です。
以下の定理1は、残りの半分の確率の数値を与えます。2nn2nP(n,2n)
n→∞limn→∞P(1∗n,2∗n)
定理1-比率保存領域シーケンスの要素の確率の制限
limn→∞P(a∗n,b∗n)=(ab)19
証拠は、付録の直前に記載されています。
定理1により、限界
に中間確率は
あり、おおよその小数値評価されます。(12)190.925875
健全性チェックが
途中確率の数値制限は「右に見える」かどうかを確認するために妥当性検査を行うことができます。
n1000100001000001000000∞P(n/2,n)P(500,1000)P(5000,10000)P(50000,100000)P(500000,1000000)limn→∞P(n,2n)======trunc decimal val0.925726140820.92585985280.9258732260.925874560.925875
第4行はのステップ数値の残りの途中確率である
、、、及びはそれぞれ、。最後の行は制限です。中間確率は実際に予測限界に収束しているようです。
この現実世界の観察は、ロスのフレームワークに適合しないため、説明する必要があります。 103104105106
**セクション4「パラドックスの解決」**
このセクションでは、ロスの分析と合理的ドメイン分析の両方の統一されたフレームワークについて説明します。それらを一緒に表示することにより、パラドックスが解決されます。
有理限界は、有理数から実数への関数に還元でき:
ここでおよびここで、は最大公約数を示します。ステートメントは、「およびは相互に素数」、「はの縮小部分です。 Plim2(a,b)(0,1](0,1]
Plim2(a,b)==limk→∞P(ka,kb)(a′b′)19
gcd(a′,b′)=1a′b′=abgcd()a′b′a′b′ab
ロスの制限は、合理的な制限のシーケンスの制限として記述できます。
タプルは有理数のメンバーではありません ;属しているため、ロス限界はドメイン上の関数と同型で あり、その画像は常に一意の実数です。
Plim1(a)====limk→∞P(a,k)limi,k→∞P(ka/i,kb)limi→∞Plim2(a/i,b)limi→∞Plim2(0,b)for some b
(0,b)(0,1][0,0]Plim2(a,b)[0,0]0
ロスの制限と有理数の制限は、それぞれ2つの異なるドメインおよび同じ関数です。刻み幅。 [0,0](0,1]
Ross-limit分析は、の値連続してアクセスすると、 ゼロ以外の値に到達しないと予測しています。
これは正しいことであり、実世界の観測に対応しています。Plim1(i)i=1,2,...∞
合理的限界分析は、ロス限界が考慮しない中間ボールセットなどの実世界の観測を考慮します。関数は同じが、ドメインはではなくPlim2(a,b)(0,1][0,0]
以下の図は、ロス制限シーケンスと合理的制限シーケンスの両方を示しています。
![ここに画像の説明を入力してください](https://i.stack.imgur.com/eEYSC.png)
Rossの分析には、Ross制限とそのドメインが対象のドメイン全体であるという暗黙の仮定が含まれていると言ってもいいでしょう。暗黙的にロスの仮定の根底にある直観は、明示的に認識されていなくても、以下の4つの条件によるものです。
ましょうあること番目のロスリミットシーケンス。ましょロス限界配列の組合です。 Si=P(i,n),n=1,...,∞iS=∪i=(1...∞)Si
- (1)シーケンスは互いに素であり、各シーケンスは収束します。Si
- (2)すべてのシーケンス要素の和集合は、遊びに入るすべての(ボール、ステップ)タプルのセットを正確にカバーします:S{(i,n) | i≤n ∧ i,n∈Q}
- (3)すべてのシーケンスは、ステップインデックスで無限であるため、「早期」に終了しません。Sin
- (4)シーケンス自体がスーパーシーケンスます。したがって、そのスーパーシーケンスは反復的に「作成」できます。つまり、それらは数えられます。Si{Si}iin(1...∞)
リミットシーケンスの別のシステムが上記のポイント(1)〜(4)を満たすことはすぐにはわかりません。
ただし、実際に上記のポイント(1)〜(4)を満たす制限シーケンスの別のシステムについて説明します。
ましょう、、合理的な制限配列表す
うの互いに素タプルである = 。ましょ前記組合である合理的限界配列: Sp,qgcd(p,q)=1
Sp,q={(kp,kq)}k∈(1...∞)
D∗DD∗={(p,q)∈D∧gcd(p,q)=1}S∗S∗=∪d∈D∗Sp,q
明らかに、和があるシーケンスは、上記の特性(1)-(3)を満たします。
インデックスはまさに有理数です。条件(4)を満たすためには、有理数が可算であることを示す必要があります。 Sp,qS∗
(p,q)(0,1](0,1]
順序の(フェアリーシーケンス)2は、0から1の間の完全に縮小された分数のシーケンスであり、最低の用語では、以下の分母を持ち、サイズの大きい順に並べられます。以下に、最初の8つのFareyシーケンスを示します。nn
F1 = {0/1, 1/1}
F2 = {0/1, 1/2, 1/1}
F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}
F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}
F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1}
F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}
F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}
してみましょう表し最初の要素なしファレイ数列目を。F∗nn0/1
ましょへとを含むステップアップされる少なくとも1種の元素を有する合理的限界配列の組合である:
S∗nn
S∗n={Sp,q | ∃(a,b)}
要素インデックスは、正確インデックスの要素、タプルへの画分から変換。次の表は、ロス分析と合理的制限分析における制限シーケンスのグループ化を比較しています。F∗nS∗n
num new seq per step new seq at step ntot num seq up to step nsuper-seq up to step nRoss1Snn{Sm}nm=1rationalmultiple (generally)F∗n−F∗n−1∥F∗n∥F∗n
最後に、スーパーシーケンスを繰り返し作成するためのメソッド[ 3 ]、[ 4 ] が存在するため、条件(4)も満たされます。F∗n
これらのメソッドの1つ、Stern-Brocotツリーのバリアントは次のとおりです。
2つの有理数およびの中央値は、として定義されますa/cb/da+bc+d
パラドックスは解決されました。
定理1の証明
最初に注意してください:
ここで、最後の変換はスターリング変換です。
P(Ea,b)===∏k=ab9k(9k+1)Γ(a+19)Γ(b+1)Γ(a)Γ(b+109)(a−1)12−a(a−89)a−718bb+12(b+19)−b−1118
次に、構文的におよびを最後の(スターリング形式)方程式に代入すると、
a→a∗nb→b∗n
limn→∞P(Ea,b)==limn→∞(aM−1)12−aM(aM−89)aM−718(bM)bM+12(bM+19)−bM−1118(ab)19
付録:その他の結果
限界への期待
このセクションでは、ステップサイズの一部までの残りのボールの予想数の閉じた式を示します。
この結果の結果は、最初のボールのインデックスの数値近似であり、1より大きいままであると予想されます。
( つづく )