次のように質問（わずかに修正）が行くとあなたがそれに遭遇したことがない場合は、実施例6a、第2章、シェルドン・ロスの中でそれを確認することができます前に、最初のコース確率で：

無限に大きなnumberと、ボール番号1、番号2、番号3などのラベルが付いたボールの無限のコレクションを持っているとします。次のように実行される実験について考えてみましょう。1分から12時に、1から10の番号が付けられたボールが骨urに置かれ、1つのボールがランダムに取り除かれます。（撤回に時間がかからないと仮定します。）1/2分から12 PMに、11から20の番号のボールが骨nに置かれ、別のボールがランダムに取り除かれます。14:00から12P.M.に、21から30の番号が付けられたボールが骨nに置かれ、別のボールがランダムに取り除かれます...など。興味深いのは、午後12時に骨nの中にいくつのボールがあるかということです。

この質問は、提起されているように、基本的に誰もが誤解することを強制します-通常、直観は、午後12時に無限に多くのボールがあると言うことです午後12時

確率論を教えるとき、この問題は直感的な説明をするのが非常に難しいものの一つです。

一方で、次のように説明することができます。「午後12時にボールiがurにいる確率を考えてください。無限のランダムドロー中に、最終的に削除されます。これはすべてのボールに当てはまります。それらの最後にあることができます」。

しかし、生徒たちは「しかし、私は毎回10個のボールを入れて、1個のボールを取り除いています。最後にボールがなくなることは不可能です」と正しく主張します。

これらの矛盾する直観を解決するために彼らに与えることができる最良の説明は何ですか？

また、この問題は不適切なものであり、より適切に定式化すると「パラドックス」が消えるという議論や、パラドックスが「純粋に数学的」であるという議論も受け入れています（ただし、それについて正確に説明してください）。

ロスは、教科書の例6aでこの「パラドックス」の3つのバージョンを説明しています。各バージョンでは、手順の各ステップで10個のボールが骨nに追加され、1個のボールが削除されます。

1. 最初のバージョンでは、番目ボールで除去される番目のステップ。数字がゼロで終わらないすべてのボールがまだそこにあるため、真夜中以降に無限に多くのボールが残っています。$10n$$n$

2. 2番目のバージョンでは、番目のステップで番目のボールが削除されます。各ボールは最終的に対応するステップで削除されるため、真夜中以降はボールが残りません。$n$$n$

3. 3番目のバージョンでは、ボールはランダムに均一に除去されます。ロスは、ステップで除去される各ボールの確率を計算し、としてに収束することを見つけます（これは明らかではないことに注意してください！実際に計算を実行する必要があります）。これは、ブールの不等式により、最終的にボールがゼロになる確率もであることを意味します。1 のn → ∞ $n$$1$$n\to\infty$$1$

この最後の結論は直感的ではなく、説明が難しいと言っています。これは、このスレッドの多くの混乱した回答とコメントによって素晴らしくサポートされています。ただし、2番目のバージョンの結論はまったく直感的ではありません！そして、確率や統計とはまったく関係ありません。2番目のバージョンを受け入れた後、3番目のバージョンについて特に驚くべきことはもうないと思います。

そのため、「確率的」議論は3番目のバージョンについてでなければなりません（@ paw88789、@ Paul、および@ekvallによる非常に洞察力のある回答を参照）が、「哲学的」議論はむしろ2番目のバージョンに焦点を当てるべきです。ヒルバートのホテルへの精神。

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2番目のバージョンはRoss-Littlewoodパラドックスとして知られています。私はウィキペディアのページにリンクしていますが、そこでの議論は恐ろしく紛らわしいので、それを読むことは全くお勧めしません。代わりに、数年前のMathOverflowスレッドをご覧ください。今は閉じられていますが、いくつかの非常に知覚的な答えが含まれています。私が最も重要だと思う答えの簡単な要約は次のとおりです。

ステップ後、骨存在するボールのセットを定義できます。我々はそれを持って、そこの数学的に明確に定義された概念であるなど、セットのシーケンスの制限は、1つは厳密に証明することができこのシーケンスの制限が存在し、空のセット。実際、どのボールが制限セットに入れることができますか？削除されないもののみ。しかし、すべてのボールは最終的に除去されます。したがって、制限は空です。書くことができます。 N S 1 = { 2 、... 10 } S 2 = { 3 、... 20 } ∅ S N → $S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

同時に、数このセットのカーディナリティとしても知られているセットボールの等しくなります。シーケンスは明らかに分岐しています。つまり、カーディナリティはのカーディナリティに収束します。これは、aleph-zero aleph_0としても知られています。したがって、書くことができます。S N 10 N - N = 9 N 9 、N 、N ℵ 0 | S n | → ℵ $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

「パラドックス」とは、これら2つのステートメントが互いに矛盾しているように見えることです。

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

しかし、もちろん本当のパラドックスや矛盾はありません。カーディナリティの取得はセットでの「連続的な」操作であるとは誰も言わなかったため、制限と交換することはできません。つまり、すべての整数に対してであるという事実から、と結論付けることはできません（最初の序数の値）はと等しくなります。代わりに、直接計算する必要があり、結果はゼロになります。

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ N ∈ N | S ω | ∞ | S ω $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

だから、私たちがこれから得たのは、カーディナリティをとることは非連続的な操作であるという結論だと本当に思います... [@HarryAltman]

したがって、このパラドックスは、「単純な」操作が継続的であると想定する人間の傾向に過ぎないと思います。[@NateEldredge]

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これは、セットではなく関数を使用すると理解しやすくなります。間隔で1に等しく、他の場所でゼロに設定されるセット特性（別名インジケーター）関数を考えます。最初の10個の関数はそのように見えます（@Hurkylの答えからのASCIIアートを比較してください）：S n [ n 、10 n $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

各点について、ことに誰もが同意するでしょう。定義により、これは関数が関数収束することを意味します。繰り返しますが、誰もがそれに同意します。ただし、これらの関数の積分がますます大きくなり、積分のシーケンスが発散することに注意してください。言い換えると、 LIMのFのN（A ）= 0 のF N（X ）、G （X ）= 0 ∫ ∞ 0 F （X ）D 、X = 9 $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

これは、完全に標準的な使い慣れた分析結果です。しかし、それは私たちのパラドックスの正確な再定式化です！

問題を形式化する良い方法は、水差しの状態をセット（サブセット）としてではなく、限界をとるのは難しいが、その特徴的な機能として記述することです。最初の「パラドックス」は、点ごとの制限が均一な制限と同じではないということです。[@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

重要なポイントは、「であることである真夜中の正午」全体無限シーケンスがいる既に通過した、すなわち私たちは「trasfiniteジャンプ」を作り、に到着しtransfinite状態。「真夜中の正午」の積分値は、積分値である必要があり、その逆ではありません。LIM F $f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

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このスレッドの回答の中には、非常に支持されているにもかかわらず誤解を招くものがあることに注意してください。

特に、@ cmasterはをが、これは実際には無限ですが、これはパラドックスが求めることではありません。パラドックスは、無限の一連のステップの後に何が起こるかについて尋ねます。これは半無限構造であるため、上記で説明したようにゼロに等しいを計算する必要があります。ballCount （Sのω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Hurkyl（回答）とDilip Sarwate（コメント）は、このパズルの2つの一般的な決定論的なバリエーションを提供します。両方の変形例において、ステップで、ボールを介してパイル（に追加され）。 10 K - 9 10 K 、K = 1 、2 、。。$k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

Hurkylのバリエーションでは、ボールは削除されます。この変形では、ボールがステップ除去されるため、ボールが残っていないという決定的な議論ができます。n $k$$n$$n$

ディリップSarwateのバリエーションでは、ボールステップで除去されるので、この変形例では、の倍数でないすべてのボール残ります。この変形例では、最後に骨urの中に無限に多くのボールがあります。k $10k$$k$$10$

これらの2つのバリアントをエッジケースとして使用すると、このプロセスを実行するときにさまざまなことが発生する可能性があります。たとえば、Hurkylのプロセスを実行するが、特定のボールの除去をスキップすることにより、最後にボールの有限セットが残るようにすることができます。実際、数え切れないほどの補数（（正の）自然数）を持つ任意のセット場合、プロセスの最後にそのボールのセットを残すことができます。$B$

我々は、機能選択として（元の記事で与えられる）問題のランダムな変化に見ることができる（I）ことを条件と一対一と（ii）ののためのすべて。のF F （K ）≤ 10 K K ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

シェルドンロスの本（投稿で参照）で与えられた議論は、（確率論的な意味で）そのような関数のほとんどすべてが実際には関数（推測）上にあることを示しています。

これは、上の一様分布から数値を選択し、その数値がカントールセットにある確率を尋ねる状況に多少似ていると思います（私は言うよりも、カントールセットを使用しています） Cantorセットは数えられないため、有理数）。Cantorセットに選択された可能性のある数字が多数ある（数え切れないほど多い）場合でも、確率はです。ボール除去の問題では、ボールが残っている一連のシーケンスがカンターセットの役割を果たしています。[ 0 、1 ] $x$$[0,1]$$0$

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編集：BenMillwoodは、残りのセットにはなり得ないいくつかの有限のボールセットがあることを正しく指摘しています。たとえば、を残りのセットにすることはできません。、最初の個のボールの最大を保持でき。90 ％10 N 、N = 1 、2 、3 、。。$1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

Enumarisの答えは、発散限界の問題について完全に正しいです。それにもかかわらず、質問は実際には明確な方法で答えることができます。だから、私の答えは、ゼロボールソリューションがどこでうまくいかないのか、そして直感的なソリューションが正しいものである理由を正確に示します。

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どんな球でも、それが端骨にある確率はゼロです。正確には、ゼロの制限のみです：。P （N ）P （N ）= LIM N → ∞ P （N 、N ）= $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

ここで、合計を計算しようとします 壊れた計算は、その部分にジャンプして、限界にゼロがあると言うので、合計にはゼロの項のみが含まれるため、合計自体はゼロになります。 P（N、N） LIM N → ∞ ballCount （N

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

ただし、これはを2つの独立した部分に不正に分割しています。合計の境界がパラメーターに依存する場合、単純にを合計に移動することはできません。全体としてを解決する必要があります。LIM LIM$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

したがって、このを解く唯一の有効な方法は、任意の有限に対してという事実を使用して、まず和を解くことです。 Σ N ≤ 10 N N = 1つの P （N 、N ）= 9 N N LIM N → ∞ ballCount （N $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

直感的なソリューションはまさにそれを実現し、根本的に壊れているのは「賢い」ソリューションです。

この議論は、無限集合とシーケンスが単数形で振る舞う傾向に焦点を当てています。これはヒルベルトホテルほど驚くべきことではありません。そのような場合、実際には無限の数のボールを取り出していますが、無限の数のボールを入れています。ヒルベルトホテルを逆に考えてみてください。ホテルから無数のゲストを削除しても、無数のゲストを残すことができます。

これが物理的に実現可能かどうかは、まったく別の問題です。

このように、私はそれが必ずしも悪い形ではなく、むしろ間違った本に入れられたと考えます。この種の数え上げ問題は、確率論のコースではなく、集合論のコースに属します。

問題の時間的要素を取り除くのに役立つと思います。

このパラドックスのより基本的な変形は、最も小さい番号のボールを常に削除することです。描画を簡単にするために、各ステップで2つのボールのみを追加します。

この手順では、無限の2次元グリッドに記入する方法について説明します。

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

各行は、右側に2つのアスタリスクを追加してから左端を削除することにより、前の行から形成されます。

次に尋ねる質問は次のとおりです。

ドットの繰り返しではなくアスタリスクの繰り返しで終わる列はいくつありますか？

私の意見では、この結果を誤って「各行のアスタリスクの数の制限」と同一視するという考えは、あまり説得力がありません。

この答えは、次の4つのことを目的としています。

1. ロスの問題の数学的定式化を検討し、問題の説明から直接的かつ明確にそれがどのように続くかを示します。

2. ロスの逆説的なソリューションは、物理的に100％実現可能かどうかにかかわらず、数学的に健全であり、物理世界の理解に関連しているという立場を守ってください。

3. 物理的な直観に根ざした特定の誤った議論について議論し、正午の無限球のしばしば述べられた「物理的」解法は数学だけでなく物理学にも矛盾することを示します。

4. ロスのソリューションをより直感的にする可能性のある問題の物理的な実装を説明してください。カルロスの元の質問への答えはここから始めてください。

1.問題を数学的に説明する方法

Rossの議論（p。46）の最初の「無限プロセスモデリング」ステップを展開します。正当化に焦点を当てるステートメントは次のとおりです。

を、最初のn回の引き出しが行われた後、ボール番号1がまだ骨nにあるイベントとして定義します...ボール番号1が午後12時に骨あるイベントは、イベント。⋂ ∞ N = 1 E $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

Rossの声明を展開する前に、無数の操作シーケンスの後、正午にurnの内容をどのように理解できるかを考えてみましょう。骨nの中に何があるのか​​をどのようにして知ることができますか？さて、特定のボールについて考えてみましょう。あなたはまたはまたはあなたが望むものを想像することができます。ボールが正午より前のプロセスのある段階で取り出された場合、正午には骨urに入れられません。そして逆に、特定のボールが正午まで（追加されてから）プロセスのすべての段階で骨urにあった場合、正午に骨inにありました。これらのステートメントを正式に書きましょう。b = 1 1000 $b$$b=1$$1000$$b$

ボールは、正午までにすべてのステージ場合にのみ、正午に骨inの中ここで、はステージです。ボールが骨nに追加されました。n個∈ { N B、N B + 1 、N B + 2 、。。。} n $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

さて、ロスの声明を解きましょう- 普通の英語でどういう意味ですか？urnプロセスの単一の実現を取り上げて、話してみましょう。$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$は、プロセスのステージ1の後、ボール1が骨ことを意味します。
• $x \in E_1 \bigcap E_2$は、プロセスのステージ1および2の後、ボール1がことを意味します。
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$は、プロセスのステージ1、2、および3の後、ボール1が骨ことを意味します。
• いずれかのために、ボールが段階後のURNであることを意味するスルー。X ∈ ⋂ N K = 1つの E K 1 $k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

明らかに、は、このurnプロセスの実現で、ボール1がステージ1、2の後のurnにあることを意味します3、等：正午までのすべての有限段階。無限の交点はそれを書く別の方法であるため、はボール1が骨urにあったプロセスの実現が正確に含まれています正午までのステージ。イベントはプロセスの実現の定義されたセットであるため、最後の文は、は正午までのすべての段階でボール1がにあったということとまったく同じです。このランダムなプロセスのために。 X K ⋂ ∞ N = 1 E N ⋂ ∞ N = 1 E N ⋂ ∞ N = 1 E $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

さて、パンチライン：上記の「if and only if」ステートメントでは、これは正午にボール1が骨nの中にあったということとまったく同じです。したがって、は、ロスが最初に述べたように、ボール1が正午に骨atにあるイベントです。QED$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

上記の導出では、決定論的モデリングは確率論的モデリングの特別なケースであるため、サンプル空間に1つの要素があるため、決定論的バージョンと確率論的バージョンの両方に同じことが当てはまります。「イベント」と「実現」（「セット」と「要素」の専門用語である）という言葉を超えて、測定理論や確率の概念さえ使用されませんでした。

2.逆説的な解決策は数​​学的に健全であり、物理学に関連している

この設定ポイントの後、決定論的および確率論的バリアントは分岐します。決定論的な変形（アメーバの投稿からのバージョン2）では、ボール1が最初のステップで取り出されることがわかっているため、あり、もちろん無限の交差点も空です。同様に、他のボールはステージで取り出され、正午には存在しません。したがって、正午には骨urに番号付きのボールを入れることはできないため、空にする必要があります。BのBの$E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

確率論的な変種では、同じ現象が発生しますが、それは「より期待が薄い」という意味です。所定のボールが存在する確率は、正午に近づくにつれてゼロに減少し、正午の制限時間では、ボールはほとんど確実に存在しません。各ボールは確率ゼロで存在し、無限に多くのゼロの合計はまだゼロであるため、正午にはほとんど確実にボールがボールにありません。これらはすべて、ロスによって完全に厳密に示されています。@ekvallの答えが示すように、詳細は大学院レベルの測定理論の知識で埋めることができます。

無限シーケンスとして表される数学オブジェクトに関する標準引数、たとえばを受け入れる場合、ここでの引数はまったく同じ原則に依存するため、同様に受け入れられるはずです。残っている唯一の問題は、数学的な解決策が現実の世界に適用されるのか、それとも単なるプラトニックな数学の世界に適用されるのかです。この質問は複雑であり、セクション4でさらに説明します。$0.999... = 1$

そうは言っても、無限のurの問題が物理的でないと仮定したり、物理的でなくても関係のないものとして拒否したりする理由はありません。多くの物理的洞察が、無限の構造やプロセス、たとえば無限のワイヤや浸透格子などを研究することから得られています。これらのシステムのすべてが必ずしも物理的に実現可能であるわけではありませんが、それらの理論は物理学の残りの部分を形作ります。微積分学自体はいくつかの点で「非物理的」です。なぜなら、しばしば研究の主題である任意の小さな距離と時間を物理的に実現できるかどうかわからないからです。それは、理論と応用科学で微積分を信じられないほどうまく利用することを止めるものではありません。

3.「物理的直観」に基づくソリューションの非物理性

ロスの数学が決定論的な変形で間違っているか物理的に不正確であり、真の物理的解決策は無限に多くのボールであるとまだ信じている人のために：あなたが正午に何が起こると思うかに関係なく、正午前に状況を否定することは不可能です：すべての番号付きボール最終的に骨addedに追加されます。ですから、正午に骨someの中に何とか無限に多くのボールがまだあると思うなら、正午までに追加されたボールがそれらのボールのどれでもないことを認めなければなりません。したがって、これらのボールはどこか別の場所から来たに違いありません。元の問題のプロセスとは無関係に無限に多くのボールが突然正午に出現し、カーディナリティの連続性が侵害されないようにします。「空のセット」ソリューションが直感的に思えるかもしれませんが、この代替案は客観的かつ実証的に非物理的です。オブジェクトの無限のコレクションは、無限についての貧弱な人間の直感を満足させるためだけに瞬時に存在することはありません。

ここでの一般的な誤timeは、時間が正午に近づくにつれてボールの数だけを見ることができ、正午に発散傾向が無限に多くのボールを生み出すと仮定することであると思われます。「無関心の原理」でこれを正当化する試みさえありました。それは、答えがボールにラベルが付けられているかどうかに依存すべきではないと述べています。

確かに、答えはボールにラベルが付いているかどうかに依存しませんが、それはロスの解決策の議論であり、それに対するものではありません。古典的な物理学の観点から、ボールはラベル付けされているかどうかにかかわらず、効果的にラベル付けされます。それらはラベルと同等の明確で永続的なアイデンティティを持ち、数字が文字通りボールに書かれているかどうかにかかわらず、真に物理的な分析がこれを説明しなければなりません。ラベル自体はソリューションの出方に直接影響しませんが、ボールの動きを正確に記述するために必要です。ボールの中にボールを永久に残す手順もあれば、追加されたすべてのボールを除去するものもあり、これらの手順の違いを説明するラベルも必要です。ラベルを無視しようとすることは「物理的」ではなく、物理的問題を解決するのに十分なほど正確に理解することを怠っているだけです。（同じことは、各段階でラベルを入れ替える複雑なバリアントにも当てはまります。重要なのは、ボールがplacedにあるかどうかであり、誰かがそれらに置いたり置き換えたりしたラベルではありません。これは、ロスの元々の問題の1つである単一の不変のラベル付けスキーム）

「ボール」が量子力学的な粒子であった場合、識別可能性が成り立たない唯一の方法です。この場合、無関心の原則は見事に失敗します。量子物理学では、区別できない粒子は区別できる粒子とはまったく異なる動作をすることがわかります。これは、おそらく化学の最も重要な唯一の原理であるパウリ排除原理など、私たちの宇宙の構造に信じられないほど基本的な結果をもたらします。誰もこのパラドックスの量子バージョンを分析しようとしませんでした。

4.ソリューションを物理的に記述する

漠然とした「物理的」直観が、この問題にどのように迷わせるかを見てきました。逆に、問題のより物理的に正確な説明は、数学的な解決策が実際に最も物理的な意味をなすものである理由を理解するのに役立つことがわかります。

古典力学の法則によって支配される無限ニュートン宇宙を考えてみましょう。この宇宙には、無限の棚と無限のUrという2つのオブジェクトが含まれています。これらは、宇宙の起源から始まり、1フィート離れて永遠に互いに並んで走っています。棚はフィートの線上にあり、Urnはフィートの線上にあります。棚に沿って、1フィートの間隔で等間隔​​に多数の同一のボールが無限に置かれます。最初のボールは、原点から1フィートです（ボールはフィートの線上にあります）。Urn-これは実際には棚に似ていますが、もう少し華やかで、閉じられており、一般的にUrnishは空です。y = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

通路は棚とandを底部で接続し、通路の上部の原点では、無限の電源を備えたEndeavorロボットがあります。午前11時から、エンデバーがアクティブになり、通路で前後にズームを開始し、Ross-Littlewoodのプログラムされた指示に従ってボールをUrnとShelfの間で移動します。

• プログラムがボールを骨に挿入するように命令すると、オリジンからボールフィートが棚から骨移動します。$n$$n$
• プログラムがボールを骨から除去するように命令すると、オリジンからフィート離れたボールが骨から棚に移動します。$n$$n$

どちらの場合でも、転送は真っ直ぐに行われるため、ボールは原点からフィート離れたままになります。Ross-Littlewood問題で指定されているようにプロセスが展開します。$n$

• 午前11:00に、Endeavorはボール1〜10をシェルフからUrnに転送し、その後、Urnボールの1つをシェルフに戻します。
• 午前11時30分に、Endeavorはボール11〜20をシェルフからUrnに転送し、その後、Urnボールの1つをシェルフに戻します。
• 午前11時45分に、Endeavorはボール21から30をシェルフからUrnに転送し、次に、Urnボールの1つをシェルフに戻します。
• など

プロセスが続行されると、新しいステップごとに通路を上下に移動する時間が長くなり、移動にかかる時間が半分になります。したがって、Endeavorは正午が近づくと指数関数的に高速に通路を上下に移動する必要があります。ただし、無限の電力供給を持ち、必要に応じて高速に移動できるため、常にプログラムに対応できます。最終的に、正午に到着します。

このより鮮明に想像されたパラドックスのバージョンで何が起こるのでしょうか？上から見ると、正午へのアプローチは本当に壮観です。Urの中では、ボールの波が原点から外側に向かって広がるように見えます。正午に近づくと、Waveのサイズと速度は際限なく大きくなります。各ステップの直後に写真を撮るとしたら、ボールのレイアウトはどのようになりますか？決定論的な場合、アメーバの答えのステップ関数とまったく同じように見えます。ボールの位置は、彼がプロットした曲線に正確に追従します。$(x, y)$確率的なケースでは、ほぼ同じように見えますが、Originの近くでさらに揺れ動きます。

正午に到着すると、何が起こったかを調べます。決定論的なバージョンでは、各ボールはシェルフからUrに1回だけ転送され、その後のステップで戻り、両方の転送は正午までに行われました。正午、ユニバースは元の午前11時の状態に戻らなければなりません。波はもうありません。各ボールは、開始位置に正確に戻ります。何も変わっていません。Urは空です。確率バージョンでも同じことが起こりますが、結果は確かではなくほぼ確実になりました。

どちらの場合でも、「物理的な異論」と無限についての不満は、薄い空気の中に消えていくようです。もちろん、正午にはUrは空です。そうでなければ、どうやって想像できたでしょうか？

唯一残っている謎はエンデバーの運命です。正午に近づくにつれて、原点からの変位とその速度はarbitrarily意的に大きくなりました。そのため正午には、無限のニュートン宇宙ではエンデバーはどこにも見当たりません。エンデバーの損失は、プロセス中に発生した物理学の唯一の違反です。

この時点で、Endeavorが物理的に不可能であることに異議を唱えることができます。その速度は際限なく増大し、最終的に相対論的限界である光の速度に違反するからです。ただし、この問題を解決するためにシナリオをわずかに変更できます。単一のロボットの代わりに、無限の数のロボットを持ち、それぞれが単一のボールを担当します。ロスの指示に従って完璧な調整とタイミングを確保するために、それらを事前にプログラムすることができました。

この変動は100％物理的ですか？おそらく、ロボットは任意の正確なタイミングで動作する必要があるためです。正午に近づくと、要求される精度が最終的にプランク時間を下回り、量子力学的問題が発生します。しかし、最終的には、無限のワイヤと無限の浸透格子もそれほど物理的ではないかもしれません。それは、無限のシステムとプロセスを研究し、物理的な制約を中断した場合に何が起こるかを決定することを止めるものではありません。

4a。単調性のカウントが違反する理由

ロスの懐疑論者の多くは、正午に近づくとurの中の玉の数が無制限に増加し、正午にゼロになる可能性について疑問を呈しています。最終的には、私たち自身の直感に対する厳密な分析を信じなければなりませんが、これはしばしば間違っていますが、この謎を明らかにするのに役立つパラドックスのバリエーションがあります。

代わりに、無限に多くのボールを、私たちは持っていると仮定しまでの1のラベルが付いたボール、2、3、、私たちはボールムーバーのための規則に以下の追加を発行します。10 $10N$$10N$

• 指示が存在しないボールを移動するように求めた場合、その指示を無視します。

この命令を無限に多くのボールで起動することは決してないので、この命令を追加しても元の問題は変わらないことに注意してください。したがって、元の問題とこの新しい問題のファミリーは、同じルールで同じファミリーの一部であると考えることができます。特に非常に大きい場合、有限ファミリーを調べると、「N =」のケースを理解するのに役立ちます。N $N$$N$$\infty$

このバリエーションでは、ボールは前と同じようにステップごとに9個蓄積しますが、プロセスのステップまでしかありません。その後、追加されるボールの番号は実際のボールに対応しなくなり、ボールを削除する指示に従うだけで済み、追加ステップの後、合計ステップでプロセスが停止します。場合は非常に大きい場合、除去のみの相は、タスクが非常に急速に行われている正午に非常に近く発生し、骨壷は非常にすぐに空にされます。9 N 10 N $N$$9N$$10N$$N$

ここで、各値に対してこの実験のバリエーションを行い、時間の経過にボール数をグラフ化すると仮定します。ここで、は時から 0時までの範囲です。通常、はしばらく上昇し、その後またはその前にゼロに戻ります。限界に無限大に近づくと、グラフはこれまで高くなると秋にはこれまで以上に迅速です。正午までにurnは常に空になります：。制限グラフでは、で場合、曲線は無限に近づきます、F N（T ）T F N（T ）T = 1 N F N（1 ）= 0 、F （T ）= LIM N → ∞ F N（T ）T < 1 fは（1 ）= 0 N →を$N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$。これは、ロスの証明で得られた結果です。正午までにボール数は無限に発散しますが、正午にはゼロになります。言い換えれば、ロスのソリューションはNに関して連続性を維持しますとしてのボールカウントの点ごとの制限は、無限ボールの場合のボールカウントと一致します。$N \rightarrow \infty$

私はこれをロスの解決策の主な議論とは考えていませんが、正午にクラッシュするよりも、ボール数が永遠に増える理由に困惑している人には役立つかもしれません。奇妙なことですが、それはとしての問題の有限バージョンの制限的な動作であり、したがって、無限のケースでは「突然のショック」としては現れません。$N \rightarrow \infty$

最終反射

なぜこの問題が非常に多くの人にとってこのようなタールピットであることが証明されたのですか？私の推測では、私たちの肉体的な直感は思っているよりもはるかに曖昧であり、しばしば不正確で不完全な精神的概念に基づいて結論を出します。たとえば、円でもある正方形を考えてみると、角張った円のようなものを想像するかもしれませんが、それは正確には両方ではありません-それは不可能です。人間の心は、曖昧で矛盾した概念を簡単に1つの精神図にまとめることができます。Infiniteのように概念があまり馴染みのない場合、これらの曖昧な精神的マッシュアップは実際にはReal Thingの概念であると確信できます。

これがまさに骨n問題で起こることです。私たちは一度に全部を実際に思いつきません。時間の経過に伴うボールの数など、その断片について考えます。時間の経過とともに謙虚な小さなボールに何が起こるか、または「 "」がどのように無限に多くのボールを保持できるかなど、おそらく無関係な技術を振り払います。結果が一貫性のない、互換性のない精神モデルのマッシュアップであることを認識せずに、すべての詳細を正確に設定することを怠ります。

数学は、この状態から私たちを救うように設計されています。不慣れでエキゾチックな人々に直面して、私たちを鍛え、鍛えます。それは、「必ず」真であるということについて考え直すことを要求します。どんなに奇妙なことが起こっても、1つと1つはまだ2つ、ボールはaの中にあるかそうでないか、声明は真か偽かを思い出させます。我慢すれば、これらの原則は最終的に私たちの問題のほとんどを明確にします。

数学的分析を「物理的」または「常識的」な直観に従属させる人は、危険にさらされます。直感について手を振ることは、物理学の始まりにすぎません。歴史的に、物理学のすべての成功した分岐は、最終的に、正確な物理的直感を排除し、正しいものを強化し、無限電流通電ワイヤなどの理想的なシステムの厳密な研究を可能にする厳密な数学に基づいています。より複雑で乱雑な現実の世界。ロス・リトルウッドは身体的な問題です。通常、古典力学の1つとして解釈され、古典力学は完全に成熟した厳密な数学的基盤を持っています。古典物理学の世界についての直感ではなく、数学のモデリングと分析に頼るべきです。

ロスの計算は厳密ではないかもしれないと懸念しているポスターがいくつかあります。この回答は、ロスが検討したすべての結果セットが実際に測定可能である確率空間の存在を証明することで対処し、その後ロスの計算の重要な部分を繰り返します。

適切な確率空間を見つける

骨壷にはボールが、ほとんど確実に、12 PMに厳しいがないことをロスの結論を作るために、我々は、確率空間の存在を必要とする場所イベント「12の壷でノーボールPM」は正式に構築され、測定可能であることが示されます。そのために、これらの講義ノートでは定理33 [Ionescu-Tulcea]を使用し、わずかに書き直し、質問へのコメントで@NateEldredgeが提案する構成を使用します。$(\Omega, \mathcal F, P)$

定理。（Ionescu-Tulcea拡張定理）一連の測定可能なスペース考えます。毎仮定する、確率カーネルが存在するからに（を最初の引数、つまり確率測度に影響されないカーネルにすること）。次に、ランダム変数シーケンスが存在し、対応する値を取り、ごとに共同分布、N κ N（Ξ 1、X 1）× ⋯ × （Ξ N - 1、X N - 1）（Ξ N、X N）κ 1 X nは、N = 1 、2 、... Ξ N$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$κ 1、... 、κの$(X_1, \dots, X_n)$これは、カーネルによって暗示されています。$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

私たちは聞かせてで除去ボールのラベル示す撤退番目。（無限の）プロセスが存在する場合、Rossの引数を模倣するために知っておく必要のあるすべてのものを教えてくれることは明らかです。たとえば、ある整数を知ることは、撤退後の中のボールの数を知ることと同じです。これらは、正確にラベル追加されたボールです、削除されたボール。より一般的には、任意の撤退後にボールがどのボールにどれだけの量が入っているかを説明するイベントは、プロセス観点から述べることができます。、N X = （X 1、X 2、... ）X 1、... 、Xのm個の M ≥ 0 M { 1 、2 、... 、10 M } { X 1、... 、XのM } $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

Rossの実験に適合するために、すべてのについて、の分布が 均一である必要があります。また、の分布がで均一である必要があります。これらの有限次元分布を持つ無限プロセスが実際に存在することを証明するために、イオネスク-タルセア拡張定理の条件をチェックします。任意の整数について、とし、測定可能なスペース、ここでX N | X N - 1、... 、X 1 { 1 、2 、... 、10 N } ∖ X 1、... 、X N - 1 X 1 { 1 、... 、10 } 、X = （X 1、X 2、… ）n I n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$（Ξ N、X N）= （I 10 N、2 I 10 N）2 Bの Bのκ 1（Ξ 1、X 1）、1 / 10 Ξ 1、N ≥ 2 （X 1、... 、XのN - 1）∈ Ξ 1 × $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$セットの電力設定意味。のメジャーを、すべての要素に質量を置くものとしてます。いずれかのために、及び定義すべての点に等しい質量を置き、他のすべての点に質量ゼロを置く確率カーネル、つまり整数$B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ N（X 1、... 、xはN - 1は、⋅ ）Ξ N ∖ { X 1、... 、X nは、- 1 } xはiが ∈ Ξ N、I = 1 、... 、N - 1 Xを（Ω 、F、P $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$。構築により、確率カーネルは、ロスによって指定された均一な除去確率と一致します。したがって、無限プロセスと確率空間、その存在が定理によって与えられ、ロスの議論を正式に実行する方法を提供します。$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

ましょう、ボールこと結果の集合を表す離脱後URNである。確率的プロセスに関して、これは、すべてのおよびに対して、を定義することを意味します、つまりボールは番目までのドローで除去されませんでした。以下のために我々は明確に定義することができますボール以来、まだターンに追加されていません。すべてのおよびについて、セット、I N X I N I ≤ 10 N E I N = ∩ N J = 1 { ω ：X J（ω ）≠ I } I N I > 10 N E I N = ∅ iがjをI { ω ：X j（ω ）≠ i } X j E $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$は、がランダム変数（測定可能）であるため、測定可能です。したがって、は、測定可能なセットの有限交差点として測定可能です。$X_j$$E_{in}$

12 PMにボールにボールがないような結果のセットに興味があります。つまり、整数ごとに12 PM にボールがボールにないという結果のセットです。すべてのについて、を結果のセット（）にして、ボールが午後12時に骨にあるようにします。次のようにを使用して正式に構築できます。その 12 PMにURNであるので、それはURNを添加した後に行われたすべての離脱後のURNであることに等価であるI I E I ω ∈ Ω I E I E I N、I E I = ∩ N ：私は≤ 10 N EをI N E I$i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$。結果セットは、すべてのについて、測定可能なセットの可算交差として測定可能になりました。$E_i$$i$

午後12時に骨に少なくとも1つのボールがある結果は、少なくとも1つの発生する結果、つまりです。結果セットは、測定可能なセットの可算の和集合として測定可能です。現在、は、午後12時に骨urにボールがないというイベントです。これは、測定可能なセットの補完として実際に測定可能です。結果のすべての望ましいセットは測定可能であり、ロスが行うように、それらの確率の計算に進むことができると結論付けます。 E = ∪ ∞ I = 1つの E I E Ω ∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

確率計算$P(\Omega \setminus E)$

イベントのファミリーは可算であるため、まず、可算のメジャーの可算副加法により、$E_i, i = 1, 2, \dots$

P （E i）= a i i P （E ）= 0 ∑ N i = 1 a i = 0 N a i = 0

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ 表記を簡単にするために、すべてのに対して実数を示しましょう。明らかに、であることを示すには、すべてのに対してであることを示すだけで十分です。これは、すべてのに対してを示すことと同等です。$P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

そのために、ボールがurnに追加されたすべての、つまり、 に注意してください。これは、ボールがステップで骨、ステップ骨です。つまり、セット、ように、すべての減少するシーケンスを形成します。表記を簡単にするため、ます。ロスは、がであることを証明し、これは他のすべてのでも表示できると述べています。I 10 N ≥ iは、E 、I 、N ⊇ E I （N + 1 ） I N + 1 、N E 、I 、N、N 10 、N ≥ iがI 、N = P （E I N）1 N → 0 N → ∞ I i n = ∏ n k = i [ 9 $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$、これは真実だと思います。証拠は、その表示から成るとすべてに対して、基本的な長さの計算ここでは繰り返しません。この結果と、イベントのファミリー、がすべてのiに対して可算であるという事実により、測定の連続性はLIM N → ∞ I N = 0 、I E 、I 、N 10 、N > $a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

であり、したがってであると結論付けられます。QED。P （Ω ∖ E ）= $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

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一般的な誤解：

1. 1つの答えは、（私の表記では）。ただし、これは、右側の数量が提供された引数ごとの対象となるものではないため、ソリューションの有効性には関係ありません。$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. の場合、制限を合計内に移動できない、つまり合計と交換できないという懸念があります。。前の発言と同様に、右側の数量は対象の数量ではないため、これはソリューションとは無関係です。$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

一方で、次のように説明することができます。「午後12時にボールiがurにいる確率を考えてください。無限のランダムドロー中に、最終的に削除されます。これはすべてのボールに当てはまります。それらの最後にあることができます」。

この議論には説得力がありません。この引数が機能する場合、次の引数が機能します。毎年、何人かの人が生まれ（総人口の一定割合）、一部の人が死にます（一定割合と仮定）。そして、限界では特定の人はほぼ確実に死んでいるので、人類は絶滅しなければなりません！今、人類は他の理由で絶滅するかもしれませんが、この議論はゴミです。

ボールに番号が付けられているときにこの問題を解決し、ボールが匿名であるときにまったく異なる回答をするのは意味がありません。対称性により、任意のラベルはソリューションに影響を与えません。ジェインズはこの議論を無関心の原則と呼んでいたが、私はそれを受け入れた。

言い換えると、誰かが10個のボールをurに入れて、1個のボールを繰り返し取り出すと言った場合、そしてその限界にあるfullがどれくらいいっぱいになったとしたら、あなたの答えは「ボールに番号が付けられているかどうかによる」でしょうか？もちろん違います。その骨nの内容は、この問題の骨nのように発散します。

したがって、解決策は問題を形式化する方法にあると思います。通常の定義から集合論的制限、我々は持っています

LIM SUP N → ∞ S N = ⋂ N ≥ 1 ⋃ J ≥ N S

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

セットのカーディナリティーの制限を

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

そして、セットの -limitのカーディナリティは$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

私は集合論的限界を再定義して次のようにすることを提案します：

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

この特別な「匿名セット」は、無限大で何が起こるかを説明します。同じように数字の制限動作のためで立って、セットの制限動作のためで立っています。つまり、と。この形式主義の利点は、無関心の原則とのカーディナリティと一貫性の連続性を提供することです。 ∞ α iの∉ α のk ∀に私を| α K | = $\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

urn問題の場合、はurn内のボールのセットです。そして、 したがって、要素は無限に「崖から落ちる」ことはありません。人間が不滅であるという理由だけで人類が絶滅することは理にかなっています。LIM N → ∞ S N = αの∞$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

同様に、各ステップで1つのボールが追加され、最も小さい番号のボールが削除されるように問題を修正するとします。それでは、限界内の骨nの中にいくつのボールがありますか？匿名セットは直感的な答えを提供します。

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

私は数学者がこのパラドックスの解決について意見を異にすることができることを認識していますが、私にとってこれは最も直感的な解決です。

問題は不正な形式であるか、1次論理にありません。

根本原因：「最後の」ステップを実行すると、ボールに無限の桁数が書き込まれ、そのステップの実行に無限の時間がかかります。

無限のステップで無限のプロセスを実行する能力は、次のシーケンスH（定理X）の実行により、すべての 1次論理問題（したがって、ゲーデルは偽）を解決する能力を意味します。

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

ここで、無限のステップは出力のスプール解除です

asymptotic_coroutine内のプログラムは、Xを証明（または反証）する定理の網羅的な検索にすぎません。PをSに変換すると、「aa」、「ab」、「ac」、...「a、」、...定理に現れるすべての記号が生成される場所。これにより、すべての長さのログ_文字 Nの定理が順番に生成されます。Nは外側のループで制限なく成長するため、最終的にすべての定理が生成されます。

falseの側は終了することはありませんが、無限のステップを実行することが許可されているので、気にする必要はありません。実際、私たちは、両側が決して終わらないので、独立性を検出するためにこれを行うことができることに依存しています。一つのことを除いて。実行速度を漸近的に増加させることにより、無限の数のステップを有限の時間で実行できるようにしました。これは驚くべき部分です。終了せず、出力を生成しないasymptotic_coroutineは、漸近時間後に「終了」*し、出力を生成しません。

* FOR N = 1 ...∞の後にOUTPUTを配置した場合、それは到達しませんが、実行しません。

ゲーデルの不完全性定理の強力な形式は、「すべての1次論理システムFについて、_Fで真であるがFで真であると証明できないステートメントG _Fが存在する」と述べることができます。しかし、証明方法Hは、F（H）のすべての真のステートメントを証明することに失敗することはありません。

ジレンマ：¬Gödel¬¬（無限ステップが許可されます）
したがって：
ジレンマ：¬Gödel∨¬（315502は一次論理で整形式です）

削除されたボールの数をx、残りのボールの数をyとします。各サイクルの後、y = 9x。x> 0、y> 0。午後12時に骨urには無限に多くのボールがあります。

確率に基づくソリューションが困難につながる理由は、無限級数からの確率が扱いにくいからです。ETジェインズは、本のような確率理論：科学の論理の中で、このようないくつかの異なる明白な確率のパラドックスについて書いています。私は手元にコピーを持っていませんが、この本の最初の部分はこちらの Larry Bretthorstからオンラインで入手できます。次の引用は序文からのものです。

しかし、すべてが言われ、行われたとき、私たち自身の驚いたことに、緩やかな哲学的合意に過ぎないことがわかりました。多くの技術的な問題については、デ・フィネッティに強く反対します。彼の無限セットの扱い方は、役に立たず不必要なパラドックスのパンドラの箱を開いたように思われます。非集合性と有限加法性は、第15章で説明する例です。

無限集合のパラドックスは病的感染症になり、今日では確率論の寿命そのものを脅かすような方法で広がり、即時の外科的除去を必要とします。私たちのシステムでは、この手術の後、そのような矛盾は自動的に回避されます。これらのルールは、有限セットの明確に定義された適切な制限として生じる有限セットと無限セットのみを許可するため、基本ルールの正しい適用から生じることはありません。パラドックスは、（1）プロパティを定義するための制限プロセスを指定せずに、無限のセットに直接ジャンプすることによって引き起こされました。（2）制限にどのように近づいたかによって答えが異なる質問をする。

たとえば、「整数が偶数である確率」という質問には、「すべての整数のセット」を定義する制限プロセスに応じて、（0、1）で任意の答えがあります（ちょうど条件付き収束級数は、用語を並べる順序に応じて、任意の数に収束させることができます）。

私たちの見解では、有限集合からそれを生成する制限プロセスを指定するまで、無限集合は「存在」と数学的性質をまったく持つとは言えません-少なくとも、確率論では。つまり、カンター、ヒルベルト、ブルバキではなく、ガウス、クロネッカー、ポアンカレの旗の下で航海します。これにショックを受けた読者が数学者モリス・クライン（1980）によるブルバキズムの起訴を研究し、そして我々のアプローチの利点を見るのに十分長く耐えることを願っています。例はほぼすべての章に表示されます。

@enumaris（+1）の答えに制限を使用すると、無限大の確率のトリッキーさを回避できます。

これらの矛盾する直観を解決するために彼らに与えることができる最良の説明は何ですか？

これが最良の答えであり、確率とはほとんど関係ありません。すべてのボールには番号があります。出生番号と呼びましょう。出生数はB1、B2、B3 ...から始まり、無限に進みます。これは、私たちが本当に止まらないからです。午前12:00に近づきますが、ボールの追加と削除を続けているため、ボールの最終番号はありません。これは非常に重要な考慮事項です。

10個のボールバッチ（Batch＃7など）でボールをボックスに入れます：B71、B72、...、B80。ちょっとこれらのことを忘れて、箱から取り出されたボールに注目しましょう。彼らはランダムな順序で来ます。ランダム性が重要である理由については後で説明しますが、今のところは、ステップKでまだ箱に入っているB1からB10kまでのブリス番号を持つボールをすべて引き出すことができるということです。削除したボールを、削除された順序でインデックス付けします。D1、D2、D3 ... DKと呼びます。

午前12:00までに無限の数のボールをボックスに入れましたが、ボールを使い果たしてボールを使い果たすことはありませんでした。どうして？最初に10個のボールを置いたので、1つだけを削除します。したがって、削除するボールは常にあります。これは、午前12:00までに無限の数のボールも削除したことを意味します。

これはまた、削除された各ボールが1から無限までインデックス付けされたことを意味します。つまり、削除された各ボールを、ボックスに入れられたボールとペアリングできます：B1からD1、B2からD2など。出生数と死亡数がそれぞれ対になっていたためです。

これが解決策でした。なぜ私たちの直感を打ち負かすのですか？初級です、ワトソン博士。理由は、すべてのKについてこれが成り立つことを確かに知っているからです： だから、Kステップの後、10Kのボールを置いてKだけを取り除いたので、ボックスからすべてのボールを取り除けないはずです。右？

$$K<10K$$

少し問題があります。問題は、場合、これはもはや真ではないということです： それが直観が破綻する理由です。$K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

今、ボールがランダムに削除されなかった場合。@amoebaの標準的な答えのように、2つのことが起こるかもしれません。最初に、10個のボールを入れてから、最後のボールをすぐに取り除いたとします。それはまるで9個のボールを入れているかのようです。これは私たちの直感と一致し、午前12:00には無限の数のボールがあります。どうして？ボールをランダムに削除していなかったため、削除時にとして出生数と死亡数がペアになっているアルゴリズムに従いました。したがって、削除された各ボールを、入れたボールの1つにペアリングしました： 、これは、大量のボールがB1、B2にペアリングされたことがないことを意味します。 ..、B9、B11、...など$B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

ランダムでないボールの除去で発生する可能性のある2番目の問題は、除去時のペアリングにも関連しています。BK= DKを相関させます。これを行うには、各ステップKでBKを使用してボールを削除します。これにより、BKがDKとペアになります。このようにして、除去された各ボールは、私たちが入れた各ボールとペアになります。つまり、除去されたボールのランダムな引き分けのような同じ最終結果です。明らかに、これは午前12:00以降、ボックスにボールが残っていないことを意味します。

私は、問題自体が確率とはほとんど関係がないことを示しました。無限の可算（？）セットの力に関係しています。私が議論することを避けた唯一の本当の問題は、セットが本当に数えることができるかどうかです。午前12:00に近づくと、ボールを挿入する割合がやや急に増加しているのがわかります。したがって、ボックスに入れたボールの数が実際に数えることができるかどうかを考えるのはそれほど簡単ではありません。

解き明かす

ここで、このパラドックスの標準的な解決策を解き、直感に戻ります。

12時間で10個のボールを入れ、1個を取り出してすべてのボールを使い果たすことはどのように可能ですか これが実際に起こっていることです。12時間は到達できません。

問題を再定式化してみましょう。時間間隔をもう半分にしません。毎分ボールを出し入れします。これは元の問題とまったく同じではありませんか？はいといいえ。

ええ、上記の私の説明のどこにも明示的に時間について言及していませんでしたが、最後に言及しました。歩数kを数えていました。したがって、kで歩数とデッドボールをカウントし続けることができます。

いいえ、今は停止することはありません。到着しない時間までボールの追加と削除を続けます。元の問題では、終了は12時間です。

これは、直感がどのように失敗するかを説明しています。ボールは9倍の除去率で配置されますが、時間が終わることはないため、入れたすべてのボールは最終的に除去されます！無限の数分かかる場合がありますが、残りの無限の数の分があるので、それは大丈夫です。それが問題の真の解決策です。

この定式化では、「無限が終わった後、箱の中にいくつのボールがあるか」と尋ねますか？番号！それは無意味な質問だからです。そのため、元の質問も無意味です。または、あなたはそれを不適切と呼ぶことができます。

さて、元の問題に戻ると、明らかに時間の終わりが起こります。12時です。ボールを入れるのをやめたということは、時間がちょうど終わったということで、終わりを越えました。したがって、この質問に対する真の答えは、12時は発生しないということです。それは到達不能です。

アメーバの答えを読む価値があります。これは非常に優れており、問題を非常に明確にしています。私は彼の答えにまったく反対しませんが、問題の解決策は特定の慣習に基づいていることを指摘したいと思います。興味深いのは、この種の問題が、この慣習はよく使用されているものの、疑わしいことを示していることです。

彼が言うように、ボールごとにforの中に永遠にとどまる確率が0であることを証明することには技術的なポイントがある。この点を除けば、問題は確率に関するものではない。決定論的な同等物が与えられてもよい。理解しやすいです。重要なアイデアは次のとおりです。すべてのボールはある時点から骨nに存在しないため、最後の骨nは空です。0と1のシーケンスで各ボールの骨n内の存在を表す場合、各シーケンスは特定の範囲から0であるため、その制限は0です。

これで、問題をさらに簡素化できます。簡単にするために、1、2、3 ...と呼びます。

• 瞬間1：ボール1を骨urに入れる
• 瞬間2：削除する
• 瞬間3：ボール2を骨nに入れる
• 瞬間4：削除する
• 瞬間5：ボール3を骨nに入れる
• ...

最後に何のボール（正午）？同じ考え、同じ答え：なし。

しかし基本的に、問題は正午に何が起こるかを言っていないため、知る方法はありません。実際、ピカチュウが時間の終わりに突然urに来る可能性があります。または、ボールが突然すべて崩壊して、1つの大きなボールに統合されることもあります。これが現実的であることを意味するのではなく、単に指定されていないだけです。

この問題は、特定の慣例が限界への到達方法、つまり連続性の仮定を示している場合にのみ回答できます。正午の骨nの状態は、以前の状態の限界です。質問に答えるのに役立つ連続性の仮定をどこで探すべきですか？

物理法則で？物理法則は一定の継続性を保証します。私は、実際の現代物理学を求めていない、単純化した古典的なモデルを思い浮かべます。しかし、基本的に、物理法則は数学の法則とまったく同じ質問をもたらします。物理法則の連続性を記述するために選択する方法は、質問を数学的に尋ねることに依存します。

より抽象的な方法で連続性の仮定を探す必要があります。通常の考えは、ボールのセットからへの関数としてurnの状態を定義することです。0は不在、1は存在を意味します。そして、連続性を定義するために、製品トポロジー、別名ポイントワイズ収束を使用します。正午の状態は、このトポロジによる正午前の状態の制限であると言います。このトポロジでは、制限があり、0（空のurn）です。$\{0;1\}$

しかし、このトポロジに挑戦するために、問題を少し修正します。

• 瞬間1：ボール1を骨urに入れる
• 瞬間2：削除する
• 瞬間3：ボール1を骨nに入れる
• 瞬間4：削除する
• 瞬間5：ボール1を骨nに入れる
• ...

同じトポロジの場合、状態のシーケンスに制限はありません。そこで、私はパラドックスを真のパラドックスと見なし始めます。私にとって、この修正された問題は本質的に同じです。あなたが骨nだと想像してください。ボールが出入りするのが見えます。数字が読めない場合、同じボールであろうと他のボールであろうと、あなたに起こっていることは変わりません。ボールを個別の要素として見るのではなく、ボールが出入りする物質の量として見ることができます。連続性は、自然に物質の量の変化を見ることで定義できます。実際、制限はありません。ある意味では、この問題は、ボールのアイデンティティを無視することにした元の問題と同じであるため、異なるメトリックと異なる収束の概念につながります。そして、たとえボールの番号を見ることができたとしても、

ある場合には、状態のシーケンスの制限は「空」であり、別の場合には制限は未定義です。

製品トポロジーでの問題の形式化は、基本的に、それぞれの異なるボールに何が起こるかを分離することに依存しており、したがって、「識別可能性」を反映するメトリックを作成します。この分離のためにのみ、制限を定義できます。この分離は答えの基本であるが、骨nの「何が起こっているのか」を説明するための基本ではないという事実（果てしなく議論の余地がある点）は、根本的な真実ではなく慣習の結果であると思うようにしています。

私にとって、問題は、欠落している情報が提供されている限り、純粋に抽象的であると考えられる場合、正午の状態は以前の状態の制限であり、どのような意味での制限であるという解決策を持っています。ただし、この問題を直感的に考えると、状態のシーケンスの制限は、単一の方法で考えることができるものではありません。基本的に、答える方法はないと思います。

ボールをランダムに削除せず、番目のステップでボールを削除するという簡単な例から始めて、0の答えをより直感的にするためにできるだけ簡単な再公式化を行いたいと思います。$n$$n$

これを考慮してください：私は最初にすべてのボールを骨n に入れます。ステップ1では、ボール1を取り出します。ステップ2では、ボール2を取り出します。無限のステップの後、骨nが空になるのではないか？

はい。しかし、最初にすべてのボールを骨nに入れずに、いくつかのボールだけを入れた場合、骨howは最終的にどのように満たされますか？

この投稿の目的は、OPの最後のオプションについて、より良い定式化が必要であると主張することです。または、少なくとも、ロスの証明は最初に見えるほど明確ではなく、確かに、証明は確率論の導入コースにあるのに適した位置にあるほど直感的ではありません。逆説的な側面を理解するためには多くの説明が必要であり、ロスの証明が非常に速く通過する点で説明が明確になると、証明が依存する公理、定理、暗黙の解釈を確認することが難しくなります。

この側面に関連して、「Didactiek met oneindig veel pingpongballen？」の Teun Koetsierの最後の言葉を読むのは非常に面白いです。

また、「混乱への窓をパラドックスします」と言います。

翻訳「我々は気をつけていない場合、それは混乱にウィンドウをパラドックス」になります」

以下は、スーパータスク、より具体的には決定論的なロス・リトルウッドのパラドックスに関する議論で通じる「通常の」議論の説明です。この後、この議論をすべて脇に置くと、確率論的なロス・リトルウッドパラドックスの特別なケースが追加要素を提供するものとして見られますが、それはより広い設定ではスーパータスクと紛失して混乱します。

3つの決定論的なケースとスーパータスクに関する議論

ロス・リトルウッドのパラドックスは、ボールが骨nから移動する方法に応じて、多くの異なる結果を知っています。これらを調査するために、リトルウッドが1953年の原稿の 5番目の問題として記述しているように、正確な問題記述を使用して始めましょう

バージョン1骨nに残っているボールのセットが空です

ロスリトルウッドパラドックス、またはリトルウッドロスパラドックスは、リトルウッドの1953年の原稿「数学者の雑多なもの」の5番目の問題として初めて登場しました。

無限のパラドックス。1、2、...と番号付けされたボール（または数学者の場合は番号自体）は、次のようにボックスに入れられます。1分から正午に1から10までの数字が入力され、1が取り出されます。1/2分から正午までに11から20の数字が入力され、2が取り出されます。正午には箱の中にいくつありますか？

リトルウッドはこの問題について短いですが、ポイントのセットとして素晴らしい表現を提供します：

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

そのため、「null」であることが簡単にわかります。

バージョン2骨inに残っているボールのセットのサイズは無限です

Ross（1976）は、このパラドックスにさらに2つのバージョンを追加します。まず、最初の追加を見てみましょう。

無限に大きなnumberと、ボール番号1、番号2、番号3などのラベルが付いたボールの無限のコレクションを持っているとします。次のように実行される実験について考えてみましょう。1分から12 PMに、1から10までの番号が付けられたボールが骨nに置かれ、ボール番号10が引き出されます。（撤回に時間がかからないと仮定します。）12分から12 PMに、11から20の番号のボールが骨inに置かれ、ボール番号20が撤回されます。14分から12 PMに、21から30の番号のボールが骨nに入れられ、ボール番号30が引き出されます。18分から12 PMなど。興味深いのは、午後12時に骨nの中にいくつのボールがあるかということです。

明らかに、答えは無限大です。なぜなら、この手順では、すべてのボールの番号がであり、それらは無限に多くあります。$x \mod 10 \neq 0$

確率を含むロスの2番目の追加に進む前に、別のケースに進みます。

バージョン3骨nに残っているボールのセットは、任意のサイズの有限セットです

ボールは、ボールを移動する手順に応じて、午後12時に任意の数のボールを持つことができます。この変動は、Tymoczko and Henle（1995）によってテニスボールの問題として説明されています。

トムは大きな箱に入っていて、自分以外は空です。ジムは箱の外に立っていて、無限の数のテニスボール（1、2、3、...）が付いています。ジムはボール1と2を箱に投げます。トムはテニスボールを手に取り、それを捨てます。次に、ジムはボール3と4を投入します。トムはボールを拾い、それを投げ出します。次に、ジムはボール5と6を投入します。トムはボールを拾い、それを投げ出します。このプロセスは、Jimがすべてのボールを投入するまで無限に続きます。もう一度、有限の時間内に無限のタスクを達成することを受け入れてください。ここに質問があります：アクションが終わったときにトムと一緒に箱の中にいくつのボールが入っていますか？

答えはやや不穏です：それは依存します。質問に答えるのに十分な情報が提供されていません。無限の数のボールが残っているか、まったくない可能性があります。

教科書の例では、無限または有限の2つのケース（TymoczkoとHenle、演習として中間ケースを残す）について論じていますが、問題は一般化されたいくつかのジャーナル記事でさらに取り上げられており、従った手順に応じた任意の数。

特に興味深いのは、問題の組み合わせの側面に関する記事です（ただし、無限の側面には焦点が当てられていません）。例えば、いつでも持つことができる可能なセットの数を数えます。2つのボールを追加し、各ステップを1つ削除する場合、結果は単純であり、n番目のステップで可能なセットの数はn + 1番目のカタラン番号です。例えば、最初のステップで2つの可能性{1}、{2}、2番目のステップで5つの可能性{1,3} {1,4} {2,3} {2,4}および{3,4}、14で3番目、4番目に42 、その他（Merlin、Sprugnoli and Verri 2002、The tennis ball problemを参照）。この結果は、さまざまな数のボールの追加と減算に一般化されていますが、この投稿では今のところ行き過ぎです。

スーパータスクの概念に基づいた議論

確率論に到達する前に、決定論的なケースとスーパータスクを完了する可能性に対して多くの議論が既になされています。また、設定された理論的処理がスーパータスクの運動学的表現の有効な表現であるかどうかを疑問視することができます。これらの議論が良いか悪いかを議論したくありません。確率論的なケースはこれらの「スーパータスク」引数と対比でき、スーパータスクとは関係のない追加の要素を含むものとして見ることができることを強調するためにそれらに言及します。確率論的なケースには、スーパータスクのケースに対して、またはスーパータスクのケースについて議論することによって証明または反論されない、独自の別個の要素（確率論による推論）があります。

• 連続性の議論：これらの議論は、しばしばより概念的です。たとえば、アクサカルやジョシュアなどのスーパータスクを終了できないという考えは、それらの答えを主張し、これらの概念の明確な実証はトムソンのランプであり、ロス・リトルウッドの場合、パラドックスは尋ねるようなものであり、最後に削除されました奇数か偶数か？

• 物理的な議論：問題の物理的な実現に関連しているとして数学的な構築に挑戦する議論もあります。問題を厳密に数学的に扱うことはできますが、これが実際にタスクの機械的な実行に関係しているかどうかは疑問です（速度制限やエネルギー/スペース要件として物理世界の特定の障壁を破るなどの単純な概念を超えています） 。

  • 1つの議論は、集合論的限界は必ずしも物理的現実を記述するわけではない数学的概念であるということかもしれません

    たとえば、次のさまざまな問題を考えてみましょう。骨urの中には、動かないボールがあります。各ステップで、ボールに以前に書き込まれた番号を消去し、ボール上の新しい、より低い番号を書き換えます。無限に多くのステップの後、骨urは空になりますか？この場合、空の集合である集合論的制限を使用するのは少し不合理に思えます。この制限は数学的な推論としては素晴らしいですが、問題の物理的な性質を表しているのでしょうか？抽象的な数学的な理由のためにボールが骨nsから消えることを許可する場合（これは別の問題と見なされる可能性があります）、同様に骨entire全体を非表示にすることができますか？

  • また、ボールの区別と順序付けの割り当ては「物理的でない」ように見えます（セットの数学的処理に関連していますが、butの中のボールはそれらのセットのように動作しますか？）。各ステップでボールをシャッフルする場合（たとえば、各ステップで、破棄されたパイルのボールを無限のボールの残りのパイルのボールにランダムに切り替えます）、したがって、ボールをurに入れたときまたは取得した数最初から、セットが収束しないため、セットの理論的限界に基づく引数はもはや意味がありません（ボールがballから破棄された後、再び戻ることができます）

    骨nを充填して空にするという物理的なタスクを実行するという観点からは、ボールに数字があるかどうかは問題ではないように思えます。これにより、集合論的推論は、実際のプロセスではなく、無限集合についての数学的な思考のようになります。

とにかく、教訓的な目的でこれらの無限のパラドックスの使用を主張し、したがって、確率の理論に到達する前に、最も懐疑的/頑固な人によって受け入れられた（特定の）スーパータスクの許容可能なアイデアを得るために最初に戦う必要があります思想家の場合、ゼニスのパラドックスと、アリスとケッツィエ（1995）によって説明され、以下に簡単に説明されるロス・リトルウッドのパラドックス間の対応を使用することは興味深いかもしれません。

彼らのアナロジーでは、アキレスはカメを追いかけようとしていますが、その両方が、の距離で、旗のアキレスの距離がフラグがあるタートルの2倍の距離、つまりです。その後、午後12時まで。カメとアキレスが持っている旗の違いは大きくなっています。しかし、最終的には午後12時に、Eleatics以外の誰も、アキレスとカメが同じ地点に到達したと主張することはなく（そのため）フラグがゼロになります。

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

確率的なケースと、それが問題に新しい側面を追加する方法。

ロスが（教科書で）追加した2番目のバージョンは、ランダム選択に基づいてボールを削除します

ここで、ボールが引き出されるときはいつでも、そのボールは存在するボールの中からランダムに選択されると仮定しましょう。つまり、1分から12 PMに1から10の番号が付けられたボールが骨nに置かれ、ボールがランダムに選択されて引き出される、などと仮定します。この場合、午後12時に骨urの中にいくつのボールがありますか？

ロスの解決策は、骨nが空である確率が1であることです。しかし、ロスの議論は健全で厳密に見えるが、これにどのような公理が必要であり、どの公理がそれらの公理には見られないかもしれない暗黙の仮定によってストレス下に置かれるのか疑問に思うかもしれない（例えば、正午のイベントに確率を割り当てることができます）。

ロスの計算は、要するに、空でないnのイベントを数え切れないほどのサブセット/イベントに分割する2つの要素の組み合わせであり、これらの各イベントの確率がゼロであることを証明します。

1. 、ボールの数というイベント 12時に壷である、我々が持っている$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. 、骨壷は、我々が持っている午後12時で、空ではない確率$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

スーパータスクについて推論せずにロス・リトルウッドのパラドックスの確率論的なケース

スーパータスクのパフォーマンスに関する問題からそれを取り除いたパラドックスの最も裸の形式では、無限集合を減算する「単純な」問題について疑問に思うかもしれません。たとえば、3つのバージョンでは次のようになります。

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

そして、問題はようなセットの減算になります。$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

無限シーケンス、は、ロスの確率的実現においてボールを除去できる順序を記述する（等しく）可能なシーケンスです。 -リトルウッドの問題。これらの無限シーケンスをRLシーケンスと呼びましょう。$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

さて、スーパータスクについての逆説的な推論なしのより一般的な質問は、セット全体を含まないRLシーケンスの密度に関するものです$\mathbb{N}$

問題のグラフィカルビュー。

入れ子、フラクタル、構造

この回答の編集版の前に、「urを空にする無限シーケンス」から「数1を含まない無限シーケンス」への単射マップの存在を使用する引数を作成しました。

これは有効な引数ではありません。たとえば、正方形の集合の密度と比較してください。無限に多くの正方形があります（そして、全単射関係および）が、正方形の集合はで密度ゼロを持ちます。$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

下の画像は、追加のステップごとに、urの中のボール1の確率がどのように減少するかをよりよく示しています（他のすべてのボールについても同じことが言えます）。すべてのRLシーケンス（置換されたボールのシーケンス）のサブセットのカーディナリティは、すべてのRLシーケンスのカーディナリティと同じですが（画像には一種のフラクタル構造が表示され、ツリーにはその数が無限に多く含まれています）。

サンプルスペースの増加、パスの数

この画像は、最初の5つのステップで可能なすべての実現を、テニスボールの問題のスキームとともに示しています（テニスボールの問題、各ステップ：add 2 remove 1、成長が遅く、表示が簡単です）。ターコイズと紫色の線は、展開する可能性のあるすべてのパスを表示します（各ステップでサイズサイコロを投げ、その結果に基づいてパスのつを選択します。つまり、結果に基づいてurの中の個のボールの1つを削除します）。$n$$n+1$$n+1$$n+1$

n + 1番目のカタロニア語番号として、可能なur構成（ボックス）の数が増加し、階乗としてパスの合計数が増加します。ボール番号1が内側にあるurの組成物（濃い灰色）とこれらのボックスにつながるパス（紫色）の場合、番号はまったく同じになりますが、今回はn番目のカタラン番号と階乗。$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

ボール内側に残すパスの密度$n$

そのため、ボール番号が1の骨至る経路の密度はあり、が大きくなると密度が低下します。ボックス内でボール番号を見つけることにつながる多くの認識がありますが、確率はゼロに近づきます（これにより不可能になることはありませんが、ほぼ確実に起こらないと主張し、ロスの議論の主なトリックはカウント可能な多くのヌルイベントの結合もヌルイベントです）。$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

テニスボール問題の最初の5つのステップのパスの例（各ステップ：2を追加1を削除）

確かに空の骨nに対するロスの議論。

Rossは、イベント（サンプル空間のサブセット）定義します。これは、番号がボールがステップ骨urの中にあるというものです。（彼の教科書では、彼は実際に下付き文字を省き、ボール1を主張しています）。$E_{in}$$i$$n$$i$

証明ステップ1）

ロスは彼の命題6.1を使用します。イベントのシーケンスを増加または減少させる場合（たとえば、減少は相当し）。$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

命題6.1：がイベントの増加または減少シーケンスの場合、$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

この命題ロスを使用すると、午後12時にボールを観測する確率（イベント）は次のようになります。$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

AllisとKoetsierは、これはそれらの暗黙の仮定の1つであると主張します。スーパータスクitselveは（論理的に）午後12時に何が起こるかを暗示しておらず、問題の解決策は暗黙の仮定を行う必要があります。この場合、inの中のボールのセットの連続性の原則を使用して何が起こるかを述べることができます無限大で。（設定理論上の）無限大への制限が特定の値である場合、無限大ではその特定の値になります（突然のジャンプはありません）。

Ross-Littlewoodパラドックスの興味深い変種は、以前に捨てられたボールをランダムに返すことです。その点で（トムソンのランプのように）収束することはなく、シーケンス（これ以上減少しない）の制限を簡単に定義することはできません。$E_{in}$

証明ステップ2）

制限が計算されます。これは単純な代数ステップです。

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

証明ステップ3）

ステップ1と2は、すべてのに対して単純なステートメントで機能すると主張されています。$i$

「同様に、すべてのに対してであることを示すことができます」$P(F_i)=0$$i$

どこボールがいることをイベントである、我々は午後12時に達したとき、骨壷から取り出してきました$F_i$$i$

これは真実かもしれませんが、より低いインデックスが現在無限になっている製品式について疑問に思うかもしれません。

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

誰かがそれが機能するかどうかを私に説明してくれることを望んでいることを除けば、私はそれについてあまり語ることはありません。

また、命題6.1に必要な減少シーケンスがすべてではないという概念について、より直観的な例を入手することも良いでしょう。1に等しいステップ番号インデックスから開始します。このインデックスは無限に増加する必要があります（無限になるステップの数だけでなく、破棄されるボールのランダム選択も無限になり、制限を守っているボールの数は無限になります）。この技術は取り組まれている可能性があります（暗黙的または明示的に他の回答で既に行われている可能性があります）が、徹底的で直感的な説明が非常に役立つ場合があります。$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

このステップ3ではかなり技術的になりますが、ロスはそれについて非常に短いです。ロスは、有限部分空間で操作を適用できるのと同じ方法で、これらの操作を無限に適用できる確率空間の存在を前提としています（または少なくともそれについて明示的ではありません）。

ekvallの答えは、Ionescu-Tulceaによる拡張定理を使用して、無限積空間では、確率カーネルの無限積でイベント表現でき、その結果ます。$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

ただし、直感的な意味では説明されていません。イベント空間機能することをどのように直感的に示すことができますか？それが補数であることはヌルセットであり（アリスとケーツィエによるロス・リトルウッド問題の調整版の解決策のように無限に多くのゼロを持つ数1ではなく）、それは確率空間ですか？$E_{i}$

証明ステップ4）

Booleの不等式は、証明の最終決定に使用されます。

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

不等式は、有限または無限の可算イベントのセットで証明されています。これはも当てはまります。$F_i$

ロスによるこの証明は、構成主義的な意味での証明ではありません。代わりにする確率は、ほぼ1 URNのためであることを証明する空の午後12時で、確率は、ほぼ0で満たされるための壷のためであることを証明された任意のその上に有限数でボール。

回想

決定論的なRoss-Littlewoodパラドックスには、空のセットが明示的に含まれています（これがこの投稿の始まりです）。これにより、確率的なバージョンが空のセットで終わることは驚くほど少なくなり、結果は（真実であるかどうかにかかわらず）非確率的なRLバージョンほど逆説的ではありません。興味深い思考実験は、次のバージョンのRL問題です。

• 無限に多くのボールで満たされたurから始めて、そこからボールを​​ランダムに捨て始めることを想像してください。このスーパータスクは、終了する場合、論理的にurnを空にする必要があります。なぜなら、もしそれが空でなければ、私たちは続けることができたからです。（ただし、この思考実験は、スーパータスクの概念を拡張し、あいまいに定義された終わりを持っています。それは、骨whenが空になったときですか、午後12時に達したときですか？）

ロスの証明の手法には満足できないものがあります。あるいは、証明の美しさを十分に理解するためには、少なくとも他の例とのより良い直観と説明が必要かもしれません。4つのステップが一緒になって、他の多くのパラドックスを生成するために一般化および適用される可能性のあるメカニズムを形成します（試しましたが成功しませんでした）。

無限大に向かってサイズが増加する他の適切なサンプル空間（RL問題のサンプル空間には）などの定理を生成できる場合があります。ステップが増加するにつれて制限0の減少シーケンスであるイベントカウント可能なセットを定義できる場合、それらのイベントの結合であるイベントの確率は、無限に近づくとゼロになります。イベントの結合をスペース全体にすることができる場合（RLの例では、確率がゼロになるユニオンに空の花瓶が含まれていなかったため、深刻なパラドックスは発生しませんでした）、より深刻なパラドックスに挑戦します公理の一貫性と超有限演deとの組み合わせ。$card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• そのような例の1つ（または作成しようとする試み）は、無限に頻繁にパンを小さなピースに分割することです（数学的な条件を満たすために、正の有理数のサイズのピースのみに分割するとしましょう）。この例では、イベントを定義できます（ステップxでサイズxの断片があります）。これは減少シーケンスであり、イベントの確率の制限はゼロになります（RLパラドックスと同様に、減少シーケンスはさらに発生し、さらに時間をかけて、ポイントワイズですが、均一ではない収束があります）。

  このスーパータスクを終えるとパンがなくなったと結論を下さなければならないでしょう。ここから別の方向に進むことができます。1）ソリューションは空のセットであると言えます（ただし、空のセットはサンプル空間の一部ではないため、このソリューションはRLパラドックスよりもはるかに快適ではありません）2）未定義の部分が無限にあると言えます（たとえば、無限に小さいサイズ）3）または、（ロスの証明を実行して空を見つけた後）これが完了できるスーパータスクではないと結論付けなければならないでしょうか？そのようなスーパータスクを終了するという概念を作ることができるが、必ずしも「存在する」わけではない（ラッセルのパラドックスの一種）。

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リトルウッドの雑貨に印刷されたベシコビッチからの引用：

「数学者の評判は、彼が与えた悪い証拠の数にかかっています」。

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Allis、V.、Koetsier、T.（1995）、In Paradoxes of the Infinite II、The British Journal for the Philosophy of Science、pp。235-247

Koetsier、T.（2012）、Didactiek met oneindig veel pingpongballen、Nieuw Archief voor Wiskunde、5/13 nr4、pp。258-261（オランダ語、翻訳はグーグルや他の方法で可能）

Littlewood、JE（1953）、A mathematician's Miscellany、pp。5（free link via archive.org）

Merlin、D.、Sprugnoli、R.、and Verri MC（2002）、The Tennis ball problem、Journal of Combinatorial Theory、pp.307-344

ロス、SM（1976）、確率の最初のコース、（セクション2.7）

Tymoczko、T. and Henle、J.（1995 original）（1999 2nd edition reference on google）、Sweet Reason：現代の論理へのフィールドガイド

OK、もう一度やり直します。

答えは、パラドックスは純粋に数学的であるということです。Enumarisとcmasterの答えは、1つの方法で何が起こっているかを伝えますが、これは問題を見る別の方法です。問題は、Jaynesが書いたように、無限の確率をどのように扱うかです（詳細については、他の試みられた答えを参照してください）。

無限のシリーズは通常、終わりがないかのように扱われますが、この問題には終了時間があり（12PM）、論理的には数学的にではなくても、ボールの追加と削除の最後のサイクルがあります：午後12時までは無限に。「最後の」サイクルが存在することで、時間の経過とともに前方および後方の確率を調べることができます。

最後に追加された10個のボールを考慮してください。それらはそれぞれ、除去される可能性のある無限のボールの1つにすぎないため、除去される確率はゼロです。したがって、午後12時に少なくとも10個のボールが残る確率は1です。

QED。ナンセンスに至らない確率論的議論。

最近、ウォルフガング・ミュッケンハイムのヴィルヘルムによるいくつかのコメントが、私の答えの中で特定の定式化を再考させました。私はこれを新しい答えとして投稿していますが、これは主にこの答えの異なるアプローチのためであり、この問題の教示についてではなく、パラドックスが無効であることについて議論しています。

ウィルヘルムは長文の原稿で

トランザクションは有限ステップでのみ可能です（「すべてのと間」で可能なアクションはありません）。$n$$n$$\omega$

これは私に用語を思い出させた

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

これは、ロスの作品に由来しています。無限へのパスが次の制限に対して定義されていない場合、この用語は不定です。

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

これは、ウィルヘルムが議論している点に似ているようであり、aksakalの回答でも言及されています。時間のステップは無限に小さくなるため、その意味で午後12時に達することができますが、同時に（物理的ではない）無限の数のボールを追加および削除する必要があります。トンプソンの逆説的なランプのスイッチがスーパータスクの終わりに明確な位置を持つことができないように、このスーパータスクをZenoの矢印のようなプロセスにアタッチするのは間違った考えです。

限界に関して言えば、私たちがとる無限への物理的経路は

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

ゼロではなく無限です。

この例は「前提が偽なら条件が真」をサポートすると信じています

この宇宙では、無限のurやボールの無限のコレクションはありません。時間を任意の小さな断片に分割することは不可能です。

したがって、シェルドン・ロスは、12：00に骨nが空であると言うのが正しいです。12:00に骨nに無限のボールがあると言う学生も同じです。

骨nに50個のボールがあると答えた場合、あなたも正しいです。

この宇宙には無限のurや無限のボールが含まれておらず、その時間は原子的ではないことを厳密には証明していません。これらの3つの主張が間違っていると思われる場合、ロスの問題は経験的に改ざん可能であると思われます。実験結果を待っています。

私は、この問題は不適切であるという意見を支持します。半透明な何かを考えるとき、しばしば制限を使わなければなりません。ここが唯一の方法のようです。異なるボールを区別するため、無限次元のプロセス ありここで、時間を表しボールがある場合、時刻におけるとそれ以外の場合は。

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

現在、使用する収束は、各人の裁量です：ユニフォーム、コンポーネント、など。言うまでもなく、答えは選択に依存します。$l_p$

この問題の誤解は、無限次元ベクトルの収束を検討する際にメトリックの問題が重要であるという事実を無視することに由来します。収束のタイプを選択しないと、正しい答えが得られません。

（ゼロベクトルへの成分収束がありますノルムはボールの数をカウントするため、このノルムではプロセスが爆発します。）$l_1$

正式な教育よりも直感的ですが、：

真夜中までの間隔が半分になっている場合、真夜中に到達することはありません...漸近的にのみ接近します。したがって、解決策はないと主張することができます。

または、フレージングに応じて：

• +10ボールの無限の間隔があるので、答えは無限です
• （+10ボール-1）の無限の間隔があるので、答えは10 * infinite -1 * infinite = 0？
• （+9ボール）+1の無限の間隔があるので、答えは無限+ 1です

書き換え：2018年1月16日

セクション1：概要

この投稿の基本的な結果は次のとおりです。

• 中間のボールは、ステップが進むときに、約の確率で限界に確率があります。これは、現実世界の観測であり、数学的に導出されたものです。 派生関数は有理数の領域を持ちます。たとえば、残りの半分のボールの限界の確率は領域値対応します。この関数は、ステップサイズ。$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• ロスの分析は間違っていませんが、大きさ順に有理数を反復しようとするため不完全。 理性は大きさの順に反復することはできません。したがって、Rossの分析は完全なドメインにアクセスできず、全体的な動作の限られたビューしか提供できません。$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  
• しかし、ロスの分析では、1つの特定の観測可能な動作が考慮されています。限界では、1からの連続反復を通じて、最初の残りのボールセットに到達することはできません。
• ロスのリミットシーケンスには、直感的にユニークであると思われる優れた説得力のあるプロパティがいくつかあります。
  ただし、同じ素晴らしいプロパティを満たし、関数の値を提供する制限シーケンスの別のセットを示します。

セクション2「表記と用語」では、この投稿で使用されている表記と用語について説明します。

セクション3「ハーフウェイボールセット」では、実際の観察結果を紹介します。インデックスが挿入されたすべてのボールの中間にあるボールが残る確率の限界に収束します。この制限値は約91％です。ハーフウェイボールセットの場合は、任意の有理数に一般化されます。これらはすべて非ゼロの制限値を持ちます。 $(0,1]$

セクション4「パラドックスの解決」は、ロスの結果と「合理的領域」の結果（ここで説明）の両方を含めるための統一されたフレームワークを示しています。既に述べたように、ロスの分析は、全体的な行動の限定的なビューを提供するだけです。したがって、パラドックスの原因が特定され、解決されます。

付録では、重要性の低い他の結果について説明します。

• 「限界の予想」は、ステップサイズの端数までの残りのボールの予想数を計算します。
• この結果の帰結は、1より大きいままであると予想される最初のボールのインデックスを決定することです。

セクション2：表記法と用語

• 我々はステップで挿入ボールインデックスラベルとして 、これは呼設定 "ballset"番目。ボールセットは、この投稿用に作成された1つの単語です。 この用語は、残念ながらロスの用語とは異なりますが、テキストをより明確かつ短くします。$n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  
• 表記は、ボールボールがステップに留まりボールの他のボールを無視するイベントを指します。$E(a,b)$$a.1$$a$$b$
• 表記の略語であるとそれの確率を指す。 ボールセットすべてのボールは、同じ確率で残っていることに注意してください。 -の値されている。$P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• ロス限界、確率であるのように無限大に行く： -$P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• 有理制限は、ボールインデックスとステップ両方が一定の比率を維持しながら無限大になるときの制限として定義されます。-$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

セクション3：ハーフウェイボールセット

偶数ステップごとに、中間ボールセットは番目のボールセットとして定義されます。偶数ステップごとに、残りの半分の確率はとして定義されます。したがって、 としての制限では、残りの半分の確率は です。 以下の定理1は、残りの半分の確率の数値を与えます。$2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

定理1-比率保存領域シーケンスの要素の確率の制限

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ 証拠は、付録の直前に記載されています。

定理1により、限界 に中間確率は あり、おおよその小数値評価されます。$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

健全性チェックが 途中確率の数値制限は「右に見える」かどうかを確認するために妥当性検査を行うことができます。

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

第4行はのステップ数値の残りの途中確率である 、、、及びはそれぞれ、。最後の行は制限です。中間確率は実際に予測限界に収束しているようです。 この現実世界の観察は、ロスのフレームワークに適合しないため、説明する必要があります。 $10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

**セクション4「パラドックスの解決」**

このセクションでは、ロスの分析と合理的ドメイン分析の両方の統一されたフレームワークについて説明します。それらを一緒に表示することにより、パラドックスが解決されます。

有理限界は、有理数から実数への関数に還元でき： ここでおよびここで、は最大公約数を示します。ステートメントは、「およびは相互に素数」、「はの縮小部分です。 $P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}$

ロスの制限は、合理的な制限のシーケンスの制限として記述できます。 タプルは有理数のメンバーではありません ;属しているため、ロス限界はドメイン上の関数と同型で あり、その画像は常に一意の実数です。

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

ロスの制限と有理数の制限は、それぞれ2つの異なるドメインおよび同じ関数です。刻み幅。 $[0,0]$$(0,1]$

Ross-limit分析は、の値連続してアクセスすると、 ゼロ以外の値に到達しないと予測しています。 これは正しいことであり、実世界の観測に対応しています。$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$

合理的限界分析は、ロス限界が考慮しない中間ボールセットなどの実世界の観測を考慮します。関数は同じが、ドメインはではなく$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

以下の図は、ロス制限シーケンスと合理的制限シーケンスの両方を示しています。

Rossの分析には、Ross制限とそのドメインが対象のドメイン全体であるという暗黙の仮定が含まれていると言ってもいいでしょう。暗黙的にロスの仮定の根底にある直観は、明示的に認識されていなくても、以下の4つの条件によるものです。

ましょうあること番目のロスリミットシーケンス。ましょロス限界配列の組合です。 $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• （1）シーケンスは互いに素であり、各シーケンスは収束します。$S_i$
• （2）すべてのシーケンス要素の和集合は、遊びに入るすべての（ボール、ステップ）タプルのセットを正確にカバーします：$S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• （3）すべてのシーケンスは、ステップインデックスで無限であるため、「早期」に終了しません。$S_i$$n$
• （4）シーケンス自体がスーパーシーケンスます。したがって、そのスーパーシーケンスは反復的に「作成」できます。つまり、それらは数えられます。$S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

リミットシーケンスの別のシステムが上記のポイント（1）〜（4）を満たすことはすぐにはわかりません。

ただし、実際に上記のポイント（1）〜（4）を満たす制限シーケンスの別のシステムについて説明します。

ましょう、、合理的な制限配列表す うの互いに素タプルである = 。ましょ前記組合である合理的限界配列： $S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

明らかに、和があるシーケンスは、上記の特性（1）-（3）を満たします。 インデックスはまさに有理数です。条件（4）を満たすためには、有理数が可算であることを示す必要があります。 $S_{p,q}$$S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

順序の（フェアリーシーケンス）2は、0から1の間の完全に縮小された分数のシーケンスであり、最低の用語では、以下の分母を持ち、サイズの大きい順に並べられます。以下に、最初の8つのFareyシーケンスを示します。$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

してみましょう表し最初の要素なしファレイ数列目を。$F^*_n$$n$$0/1$

ましょへとを含むステップアップされる少なくとも1種の元素を有する合理的限界配列の組合である： $S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

要素インデックスは、正確インデックスの要素、タプルへの画分から変換。次の表は、ロス分析と合理的制限分析における制限シーケンスのグループ化を比較しています。$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

最後に、スーパーシーケンスを繰り返し作成するためのメソッド[ 3 ]、[ 4 ] が存在するため、条件（4）も満たされます。$F^*_n$

これらのメソッドの1つ、St​​ern-Brocotツリーのバリアントは次のとおりです。

2つの有理数およびの中央値は、として定義されます$a/c$$b/d$$\frac{a+b}{c+d}$

• セット$F*_n = \emptyset$
• 追加に$1/n$$F*_n$

• 以下のためのループ中$i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • 追加 F *の_nの$に$F*_{n-1}[i]$

  • ましょ$x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • が xを追加する場合$denom(x) \leq n$$F*_n$
  • ループを続ける
• 付加に$F*_{n-1}[n]$$F*_n$

パラドックスは解決されました。

定理1の証明 最初に注意してください： ここで、最後の変換はスターリング変換です。

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

次に、構文的におよびを最後の（スターリング形式）方程式に代入すると、 $a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

付録：その他の結果

限界への期待

このセクションでは、ステップサイズの一部までの残りのボールの予想数の閉じた式を示します。
この結果の結果は、最初のボールのインデックスの数値近似であり、1より大きいままであると予想されます。

（ つづく ）

編集編集

長い話は短い。いわゆるパラドックスは不定形式のエラーであり、ことを証明するゼロによる除算エラーに似た結果を持つ初心者のエラーです。この場合、数値をカウントするためのエラーは、0、または可能性がある回答を自然に生成します。$1=2$$n$$\infty$

ところで、無限小の確率を無限に追加すると、不定形の、ロスの証明は正しくありません。正解を得るには、ロピタルのルールを使用します。無限大は数ではありません。無限大を数値であるかのように扱うと、エラーが発生します。$\frac{1}{\infty}\infty$