合計の分散は分散の合計に等しいですか？

62

（常に）

V a r （ \sum_{私 = 1}^{m} {バツ}_{私} ） = \sum_{私 = 1}^{m} V a r （ {バツ}_{私} ） ？

$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$

variance

— 安倍
ソース

3

以下の回答がその証拠です。直観は、単純なケースvar（x + y）で見ることができます。xとyが正の相関がある場合、両方が一緒に大きく/小さくなり、全体の変動が大きくなる傾向があります。それらが負の相関関係にある場合、それらは互いにキャンセルする傾向があり、全体の変動が減少します。

— アサドエブラヒム

91

あなたの質問への答えは「時々ですが、一般的ではありません」です。

表示するには、これは聞かせてはランダム変数（有限分散）です。次に、 $X_1, ..., X_n$

v a r (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) - {[E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i})]}^{2}

${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$

今すぐことに注意してくださいあなたはときに計算何をしているのか考えてみれば明らかである、手で。したがって、 $(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$ $(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

同様に、

{[E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i})]}^{2} = {[\sum_{i = 1}^{n} E (X_{i})]}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i}) E (X_{j})

$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$

そう

v a r （ \sum_{私 = 1}^{n} {バツ}_{私} ） = \sum_{私 = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} （ E （ {バツ}_{私} {バツ}_{j} ） - E （ {バツ}_{私} ） E （ {バツ}_{j} ） ） = \sum_{私 = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c o v （ {バツ}_{私} 、 {バツ}_{j} ）

${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$

共分散の定義によって。

さて、合計の分散は分散の合計に等しいですか？：

変数が無相関の場合、yes：すなわち、場合、、 ${\rm cov}(X_i,X_j)=0$ $i\neq j$
$v a r （ \sum_{私 = 1}^{n} {バツ}_{私} ） = \sum_{私 = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c o v （ {バツ}_{私} 、 {バツ}_{j} ） = \sum_{私 = 1}^{n} c o v （ {バツ}_{私} 、 {バツ}_{私} ） = \sum_{私 = 1}^{n} v a r （ {バツ}_{私} ）$ ${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$
変数が相関している場合は、一般的ではない：例えば、仮定 2つのランダム変数の分散とそれぞれ及びここで、。次に $X_1, X_2$ $\sigma^2$ ${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$ $0 < \rho <\sigma^2$ 、したがって、アイデンティティーは失敗します。 ${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$
それは特定の実施例が可能である：仮定有する共分散行列次に、 $X_1, X_2, X_3$
$（ \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 & - 0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ - 0.6 & 0.2 & 1 \end{array} ）$ $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

したがって、変数が無相関の場合、合計の分散は分散の合計になりますが、一般的に逆は成り立ちません。

— 大きい
ソース

cov (X_{i}, X_{j}) = cov (X_{j}, X_{i})

$\text{cov}(X_i,X_j)=\text{cov}(X_j,X_i)$

cov (X_{1}, X_{2}) = cov (X_{2}, X_{3}) = 0.3

$\text{cov}(X_1, X_2) = \text{cov}(X_2,X_3) = 0.3$ 例の一部にすぎませんが、合計がなる2つの異なる数値に置き換えることができます。

0.6

$0.6$

cov (X_{1}, X_{2}) = a

$\text{cov}(X_1, X_2) = a$

cov (X_{2}, X, 3) = 0.6 - a

$\text{cov}(X_2,X,3) = 0.6 -a$

41

ヴァール （ \sum_{私 = 1}^{m} {バツ}_{私} ） = \sum_{私 = 1}^{m} ヴァール （ {バツ}_{私} ） + 2 \sum_{私 < j} Cov （ {バツ}_{私} 、 {バツ}_{j} ） 。

$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$

したがって、共分散の平均が $0$

$\text{Var}(X_1)=1$ $X_2 = X_1$ $\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

— ダグラス・ザレ
ソース

サンプルの分散については、ほとんど当てはまりません。

— -DWin

1

X

$X$

15

マクロによって提供された証明の簡潔なバージョンを追加したかったので、何が起こっているかを簡単に確認できます。 $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

$\Var(X) = \Cov(X,X)$

$X,Y$

\begin{aligned} ヴァール （ バツ + Y ） & = Cov （ バツ + Y 、 バツ + Y ） \\ = E （ （ バツ + Y ）^{2} ） - E （ バツ + Y ） E （ バツ + Y ） \\ 拡大することにより、 \\ = E （ {バツ}^{2} ） - （ E （ バツ ） ）^{2} + E （ Y^{2} ） - （ E （ Y ） ）^{2} + 2 （ E （ バツ Y ） - E （ バツ ） E （ Y ） ） \\ = ヴァール （ バツ ） + ヴァール （ Y ） + 2 （ E （ バツ Y ） ） - E （ バツ ） E （ Y ） ） \end{aligned}

$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$

X, Y

$X,Y$

E (X Y) = E (X) E (Y)

$E(XY) = E(X)E(Y)$

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)

$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

$n$

— オマール・ハク
ソース

11

$X_i$

ウィキペディアの説明をご覧ください

— 阿部
ソース

同意する。Insight Thingsに関する簡単な説明もあります。

— ヤンロスケゲル