積分の精度を推定する方法は？

コンピュータグラフィックスで非常に一般的な状況は、一部のピクセルの色が一部の実数値関数の積分に等しいことです。多くの場合、関数は複雑すぎて分析的に解くことができないため、数値近似を行います。しかし、この関数は計算に非常にコストがかかることも多いため、計算できるサンプルの数には大きな制約があります。（たとえば、100万サンプルを取得して、そのままにしておくことはできません。）

次に、一般的に、推定積分が「十分に正確」になるまで、ランダムに選択されたポイントで関数を評価します。これは私の実際の質問に私をもたらします：積分の「精度」をどのように推定しますか？

具体的には、があります。これは、いくつかの複雑で低速なコンピューターアルゴリズムによって実装されます。見積もりたい$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

任意のxに対してを計算できますが、コストがかかります。したがって、ランダムにいくつかのx値を選択し、kの推定が許容できるほど正確になったときに停止します。もちろん、これを行うには、現在の見積もりが実際にどれほど正確であるかを知る必要があります。$f(x)$$x$$x$$k$

この種の問題にどの統計ツールが適切であるかさえわかりません。しかし、私がfについてまったく何も知らなければ、問題は解決できないようです。たとえば、f （x ）を1000回計算し、それが常にゼロの場合、推定積分はゼロになります。しかし、については何も知りませんfは、それがあることはまだ可能だF （xは）= 1 、000 、000をお使いの推定値は恐ろしく間違っているので、あなたは、サンプルに起こった点を除いてどこでも！$f$$f(x)$$f$$f(x) = 1,000,000$

$f$$f$

編集： OK、これは多くの応答を生成したようで、これは良いことです。それぞれに個別に返信するのではなく、ここで追加の背景を記入してみます。

$f$$f$$f$$f$

$f$$f$$f$

$f$

また、「モンテカルロ」が出現した回数を考えると、それがこの種の統合の専門用語だと思いますか？

簡単にするために、すべてのx in [a、b]についてf（x）> = 0と仮定すると、[a、b]のすべてのxについてf（x）<MとなるMがわかります。[a、b]上のfの積分Iは、幅baおよび高さMの長方形で囲むことができます。fの積分は、関数fに該当する長方形にM（ba）を掛けた比率です。長方形の点をランダムに選択し、曲線の下にある場合は成功として、そうでない場合は失敗としてカウントすると、ベルヌーイ試行が設定されます。内部のポイントのサンプル部分は二項比率であり、したがって、平均pと分散p（1-p）/ nを持ちます。ここで、nは取得したポイントの数です。したがって、pの信頼区間を構築できます。また、I = p M（ba）なので、推定のI ^ = p ^ M（ba）、Var（I ^）= Mなので、Iの信頼区間です。$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$

$f$

これに対する補足的な読みは、もちろんNiederreiter（1992）のモノグラフでしょう。