一貫性のない推定量は望ましいでしょうか？

一貫性は明らかに自然で重要なプロパティ推定器ですが、一貫性のある推定器よりも一貫性のない推定器を使用したほうがよい場合がありますか？

より具体的には、すべての有限（適切な損失関数に関して）に対して妥当な一貫性のある推定器よりも優れた一貫性のない推定器の例はありますか？$n$

この回答は、自然な一貫性のある推定量が一貫性のない推定量によって支配されている（すべてのサンプルサイズのすべての可能なパラメータ値よりも優れている）現実的な問題を説明しています。整合性は2次損失に最適であるという考えに基づいているため、それから大きく外れた損失（非対称損失など）を使用すると、推定器のパフォーマンスの評価において整合性がほとんど役に立たなくなるはずです。

クライアントがiidサンプルから変数の平均（対称分布を持つと仮定）を推定したいが、（a）過小評価または（b）過度に過大評価のいずれかを嫌うとしますそれ。$(x_1, \ldots, x_n)$

これがどのように機能するかを確認するために、単純な損失関数を採用し、実際には損失が定量的に（定性的ではなく）損失と異なる場合があることを理解しましょう。ように測定単位を選択して最大許容過大評価であると推定の損失設定さTを真の平均である場合μ同等に0たびμ ≤ T ≤ μ + 1に等しい1別段。$1$$t$$\mu$$0$$\mu \le t\le \mu+1$$1$

計算は、平均と分布の正常な家族のために特に簡単であり及び分散σ 2 > 0、サンプル平均ため、ˉ X = $\mu$$\sigma^2 \gt 0$通常有している（μ、σ2/N）分布。サンプル平均は、よく知られている（そして明白な）μの一貫した推定量です。書き込みΦ標準正規CDFのために、サンプルの平均対等の予想損失1/2+Φ（-$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_i x_i$$(\mu, \sigma^2/n)$$\mu$$\Phi$：1/2は、サンプルの平均が真の平均と過小評価することを50％の確率から来Φを（-$1/2 + \Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$$1/2$は、真の平均を1を超えて過大評価する可能性に由来します。$\Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$$1$

の予想損失は、この標準の標準PDFの下の青い領域に等しくなります。赤い領域は、下の代替推定器の予想される損失を示します。これらは間固体青色領域を置換することによって異なる- $\bar{x}$と0との間の小さい固体赤色領域によって$-\sqrt{n}/(2\sigma)$$0$と$\sqrt{n}/(2\sigma)$。この差は、nが増加するにつれて大きくなります。$\sqrt{n}/\sigma$$n$

与えられる別の推定の予想損失有する2 Φを（- $\bar{x}+1/2$。正規分布の対称性と単峰性は、その予想される損失がサンプル平均の損失よりも常に優れていることを意味します。（これはサンプル平均なる許容できないこの損失のために。）実際、サンプル平均の予想損失は、下限有する1/2とは別の収束のに対し0としてN成長します。しかし、代替は明らかに矛盾している：として、nが大きくなる、それはへの確率に収束μ+1/2≠μ。$2\Phi(-\sqrt{n}/(2\sigma))$$1/2$$0$$n$$n$$\mu+1/2 \ne \mu$

$\bar{x}$$\bar{x}+1/2$$n$