t学生のエラーがあるARMAプロセスの無条件分布

でモデルの誤差が正規分布を持つ場合、無条件の分布ノーマルです。エラーに自由度のt学生分布がある場合。の無条件分布とは何ですか？$Y_t\sim ARMA(p,q)$$Y_t$$\nu$$Y_t$

したがって、 whereです。

$$Y_t=\phi_1Y_{t-1}+\dots+\phi_pY_{t-p}+e_t-\theta_1e_{t-1}-\dots-\theta_q e_{t-q}$$ $e_t\sim t_\nu$

私はそれの分布を見つける方法や、主にガウシアンエラーのケースのみをカバーしている本を見つける方法を知りません。

いくつかの参照も興味深いでしょう。

ARMAモデルは、観測可能なベクトルがIIDエラー項の基礎となるベクトルの線形関数である線形モデルの一般的なクラス内にあります。T分布に続くIIDエラーのある一般的な線形モデル形式を考えます。

$$Y_t = \sum_{k=0}^\infty A_k \varepsilon_{t-k} \quad \quad \quad \varepsilon_k \sim \text{IID Student T}(\text{df} = \nu). \quad \quad \quad \quad$$

スチューデントのT分布の有用な特性の1つは、正規分布とガンマ分布の精度パラメーターの混合として記述できることです。この表現により、上記のモデルフォームは次のように同等に記述できます。

$$Y_t = \sum_{k=0}^\infty \frac{A_k \epsilon_{t-k}}{\sqrt{\lambda_k}} \quad \quad \quad \epsilon_k \sim \text{IID N}(0, 1) \quad \lambda_k \sim \text{Gamma}(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{\nu}{2}).$$

このフォームから、値は、通常の確率変数とガンマ確率変数（スケーリングされたT確率変数を与える）のそれぞれの比率である独立した項の合計であることがわかります。現在のモデルと標準のガウス線形モデルの違いは、合計に分母項が存在することです。（標準のガウスの場合、。）$Y_t$$\lambda = \lambda_k$

この量の分布は複雑なたたみ込みですが、CLTは穏やかな条件下で正常に収束することを保証します。ランダムルートガンマ分母を総和項に適用することにより、分布をシミュレートすることができます。これにより、標準のガウス線形モデルで発生する量よりも少し可変性が高くなります。