さまざまな統計モデルについて読むと、ホワイトノイズという用語がよく表示されます。ただし、これが何を意味するのか完全にはわかりません。通常は省略され$WN(0,σ^2)$ます。それはそれが通常配布されていることを意味しますか、それとも何らかの配布に従うことができますか？

TL; DR

答えは「いいえ」です。正常である必要はありません。はい、他のディストリビューションでもかまいません。

ノイズの色

ノイズの色について話しましょう。

1. 幼児が飛行機で旅行中に出す音は白ではありません。色があります。
2. 飛行機のエンジンが発するノイズも白ではありませんが、子供のノイズほど色が付いていません。より白くなります。
3. 海や森が生み出すノイズはほとんど白いです。

ノイズキャンセリングヘッドフォンを使用する場合、＃1をキャンセルすることは不可能であることがわかります。どんなヘッドフォンでも簡単に貫通できます。＃2は非常にうまくキャンセルされます。

＃3については、なぜキャンセルするのですか？

用語「色」の由来

これら3つのノイズの違いは何ですか？それはスペクトル分析から来ています。高校時代から知っているように、プリズムを通して白色光を送ると、光はすべての異なる色に分割されます。それは私たちが白と呼んでいるものです。すべての色はほぼ同じ割合です。色が支配しません。

画像はhttps://www.haikudeck.com/waves-and-light-vocabulary-uncategorized-presentation-w5bmS88NC9からのものです

色は特定の周波数の光、または以下に示すような特定の波長の電磁波と言えます。赤色は、青色に比べて周波数が低く、同等の赤色は、450nmの青色の波長と比較して、ほぼ800nmの長い波長を持っています。

画像はこちらから：https : //hubpages.com/education/Teachers-Guide-for-Radiation-beyond-Visible-Spectrum

スペクトル分析

音響、無線、その他のノイズを取り込んで、FFTなどのスペクトル分析ツールを介して送信すると、スペクトル分解が得られます。Wikipediaの次の写真に示すように、各周波数のどれだけがノイズに含まれているかがわかります。これがホワイトノイズではないことは明らかです。50Hz、40Hzなどに明確なピークがあります。

狭い周波数帯域が突出している場合、白ではないように、色付きと呼ばれます。したがって、ホワイトノイズは白色光に似ており、このサイトの次の図に示すように、ほぼ同じ割合で広範囲の周波数を持っています。上のチャートは振幅の記録を示し、下のチャートはスペクトル分解を示しています。周波数が突き出ていません。ノイズは白です。

完璧なサイン

さて、なぜ独立した同一分布の乱数（iid）のシーケンスがホワイトノイズを生成するのですか？信号を色付けするものについて考えてみましょう。それは、特定の周波数の波が他から突き出ていることです。それらはスペクトルを支配します。完全なサイン波を考えます：。秒離れた 任意の2点間の共分散を見てみましょうφ = 1 / 2 E [ 罪（2 π T ）× 罪（2 π （T + 1 / 2 ）] = - E [ 罪2（2 π T ）] = - $\sin(2\pi t)$$\phi=1/2$

したがって、正弦波が存在すると、時系列で自己相関が得られます。0.5秒離れたすべての観測値は、完全に負の相関があります。さて、データがiidであるということは、自己相関がまったくないことを意味します。これは、信号に波がないことを意味します。ノイズのスペクトルは平坦です。

不完全な例

コンピューターで作成した例を次に示します。最初に音叉を録音し、次にコンピューターのファンからのノイズを録音しました。次に、スペクトルを分析するために次のMATLABコードを実行しました。

[y,Fs] = audioread(filew);

data = y(1000:5000,1);
plot(data)
figure
periodogram(data,[],[],Fs);
[pxx,f] = periodogram(data,[],[],Fs);
 [pm,i]=max(pxx);
 f(i)

これが音叉の信号とスペクトルです。予想どおり、440Hz付近にピークがあります。音叉は、以前の私の理論例のように、ほぼ理想的な正弦波信号を生成する必要があります。

次に、ノイズについても同じことをしました。予想通り、周波数は突出していません。明らかにこれはホワイトノイズではありませんが、非常に近くなります。非常に高いピッチ周波数が必要だと思いますが、少し気になります。ファンをすぐに交換する必要があります。ただし、スペクトルには表示されません。マイクが安っぽいからか、サンプリング周波数が十分に高くないからでしょう。

分布は関係ありません

重要な部分は、ランダムシーケンスでは、数値が自己相関しない（または、より強力で独立している）ことです。正確な分布は重要ではありません。ガウスまたはガンマの可能性がありますが、数値がシーケンス内で相関していない限り、ノイズは白になります。

ホワイトノイズは、サンプルのシーケンスがゼロ平均および有限分散と無相関であることを意味します。サンプルの抽出元の分布に制限はありません。サンプルが正規分布から描画された場合、ガウスホワイトノイズと呼ばれる特殊なタイプのホワイトノイズがあります。