この人が女性である確率はどのくらいですか？

32

カーテンの後ろに人がいます-私はその人が女性か男性かを知りません。

私はその人が長い髪を持っていること、そして長い髪を持つすべての人々の90％が女性であることを知っています

私はその人が希少な血液型AX3を持っていること、そしてこの血液型を持つすべての人々の80％が女性であることを知っています。

人が女性である確率はどのくらいですか？

注：この元の定式化は、さらに2つの仮定を加えて拡張されました。1。血液型と髪の長さは独立しています。

（ここでの特定のシナリオはそれほど適切ではありません-むしろ、私はこれに答えるための正しいアプローチを心に留める必要がある緊急のプロジェクトを持っています。異なる統計理論による複数の議論のできる答えを持つものよりも）

conditional-probability probability

— おそらく間違っている
ソース

1

確率の複数の理論はありませんが、人々が確率について正しく考えるのが難しいことは悪名高い事実です。（優れた数学者のアウグストゥス・デモルガンは、その困難さのために確率の研究をあきらめました。）議論を見てはいけません。これを民主的に解決させないでください。あなたの質問は多くの悪意のある答えを集めています。@Michael Cは良いガイダンスを提供します。私の返事は、彼が正しい理由をあなたに見せようとするものです。

— whuber

@Whuber、独立が仮定されている場合、0.97297が正しい答えであることに同意しますか？（答えは、この仮定なしでは0％から100％の間のどこかにあると信じています-あなたの図はこれをうまく示しています）。

— おそらく

何の独立、正確に？あなたは女性と男性の髪型が同じであることを提案していますか？あなたの質問で言うように、性別/髪型/血液型を含むこの特定のシナリオは関係がないかもしれません。それは、一般的にこのような問題を解決する方法を理解しようとすることを教えてくれます。そのためには、どの仮定がどの結論を意味するかを知る必要があります。したがって、あなたがやろうとしている仮定に非常に注意深く焦点を当て、それらがあなたが結論を出せる程度を正確に決定する必要があります。

— whuber

3

探索する独立性は、3つの特性すべての組み合わせに関係します。たとえば、AX3が女性の脱毛症を含む症候群のマーカーである場合（男性ではありません）、AX3の長髪の人は必然的に男性であり、女性である確率は97.3％ではなく0％になります。これにより、この質問に対して明確な答えを出す人は、明示的に承認しなくても、追加の仮定をしなければならないことが明らかになることを願っています。本当に有用な答え、IMHOは、異なる仮定が異なる結果にどのようにつながるかを直接示すものです。

— whuber

2

あなたは女性が長い髪を持っていない確率を逃しています。それは重要な尺度です。

— ダニエルRヒックス

35

多くの人々は、「人口」、その中のサブグループ、および割合（確率ではなく）の観点から考えることが役立つと感じています。 これは視覚的な推論に役立ちます。

数字を詳細に説明しますが、意図は、2つの数字をすばやく比較することで、質問に対する具体的な答えが得られない方法と理由を即座に説得力をもって示すことです。少し長い試験では、回答を決定するため、または少なくとも回答の範囲を取得するためにどのような追加情報が役立つかが示唆されます。

ベン図

伝説

クロスハッチング：女性/ 無地の背景：男性。

上：長い髪/ 下：短い髪。

右（および色付き）：AX3 / 左（色なし）：非AX3。

データ

上部のハッチングは、上部の長方形の90％です（「長い髪を持つすべての人の90％は女性です」）。

右の長方形のクロスハッチングの合計は、その長方形の80％です（「この血液型を持つ人の80％は女性です。」）

説明

この図は、（検討中のすべての女性および非女性の）人口を同時に女性/非女性、AX3 /非AX3、および長い髪/長い髪（「短い」）に分割する方法を概略的に示しています。少なくともおおよその面積を使用して、プロポーションを表します（画像を明確にするために誇張があります）。

これらの3つのバイナリ分類が8つの可能なグループを作成することは明らかです。各グループがここに表示されます。

与えられた情報は、上部の斜線の長方形（長い髪の女性）が上部の長方形（すべての長い髪の人々）の90％を構成することを示しています。また、色付きの長方形の組み合わせられたクロスハッチ部分（AX3の長い髪の女性とAX3の短い髪の女性）は、右側の色付き領域（AX3のすべての人）の80％を占めると述べています。 誰かが右上隅（矢印）に横たわっていると言われています：AX3を持つ長髪の人々。この長方形のどの部分がクロスハッチ（女性）ですか？

また、（暗黙的に）血液型と髪の長さは独立していると仮定しました：上部の長方形（長い髪）の色が付いた割合（AX3）は、下部の長方形（短い髪）の割合が色になった（AX3）に等しい。それが独立の意味です。このような質問に取り組むときは、公平で自然な仮定を立てますが、もちろんそれを述べる必要があります。

上部のハッチングされた長方形（長い髪の女性）の位置は不明です。上部のクロスハッチングされた長方形を左右にスライドさせ、下部のクロスハッチングされた長方形を左右にスライドさせ、幅を変更することを想像できます。色付きの長方形の80％がクロスハッチのままになるようにこれを行うと、そのような変更は指定された情報を変更しませんが、右上の長方形の女性の割合を変更できます。この画像のように、割合は0％〜100％の範囲であり、与えられた情報と一致していることは明らかです。

この方法の長所の1つは、質問に対する複数の回答の存在を確立することです。このすべてを代数的に翻訳し、確率を規定することにより、可能な例として特定の状況を提供することができますが、そのような例がデータと本当に一致するかどうかという疑問が生じます。たとえば、長髪の人のおそらく50％がAX3であると誰かが提案した場合、最初は、すべての情報が利用可能であることを考えると、これが可能であることさえ明らかではありません。人口とそのサブグループのこれらの（ベン）図は、そのようなことを明確にします。

— ヒューバー
ソース

3

Whuberは、血液型と髪の長さが独立していると仮定すると、タイプAX3の長い髪の女性の部分は、AX3の短い髪の女性の部分と同じになるはずです。つまり、あなたが提案する方法で長方形をシフトする柔軟性がありません...人口全体で男性と女性が50:50であると仮定した場合、1つの質問でこの質問を解決するのに十分な情報は得られません議論の余地のない答え？

— おそらく

@whuber +1とてもいい。

— マイケルR.チャーニック

5

おそらく間違っています、あなたのコメントの質問をよく見てください：女性を扱っているので、性別を条件とする独立性についての追加の仮定をしています。髪型と血液型の（無条件の）独立性の仮定では、性別はまったく言及されていないため、それが何を意味するかを理解するために、数字からクロスハッチングを消去します。 これは、上部と下部の長方形内のどこにでもクロスハッチングを配置できる柔軟性がある理由を示しています。

— whuber

1

@whuber、私はこれが好きです。ただし、2つの質問/説明があります。また、図の説明でも説明していません。ポップの割合は関係ないと思う。私は正しい/説明でそれを明確にできますか？2.この状況は最終的にはシンプソンのパラドックスと同じ現象で機能していると思います。それは公正な評価ですか？

— グング-モニカの復職

3

@gung、これらの説明をありがとう。もちろん、数字はまったく機能するためにいくつかの割合を表す必要がありますが、問題の説明で明確に特定されていない割合は自由に変更できます。（人口の約50％が女性に見えるように図を作成しました。これが想定される後の編集を予想しています。）シンプソンのパラドックスを理解するためにこのグラフィック表現を適用する考えは興味深いです。メリットがあると思います。

— whuber

13

これは条件付き確率の問題です。あなたはその人が長い髪と血液型Ax3を持っていることを知っています。してみましょうしたがって、を探します。およびことがわかります。を計算するのに十分ですか？仮定

A = {'The person has long hair'} B = {'The person has blood type Ax3'} C = {'The person is female'} .

$\ \ \ \ \ A =\{\text{'The person has long hair'}\}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B = \{\text{'The person has blood type Ax3'}\} \\ C =\{\text{'The person is female'}\}.$

P (C | A and B)

$P(C|A\ \text{and}\ B)$

P (C | A) = 0.9

$P(C|A)=0.9$

P (C | B) = 0.8

$P(C|B)=0.8$

P (C | A and B)

$P(C|A\ \text{and}\ B)$

P (A and B and C) = 0.7

$P(A\ \text{and}\ B\ \text{and}\ C)=0.7$ 。次に、

仮定します。次に、上記により、

P (C | A and B) = P (A and B and C) / P (A and B) = 0.7 / P (A and B) .

$P(C|A\ \text{and}\ B)=P(A\ \text{and}\ B\ \text{and}\ C)/ P(A\ \text{and}\ B)=0.7/P(A\ \text{and}\ B).$

P (A and B) = 0.8

$P(A\ \text{and}\ B)=0.8$

P (C | A and B) = 0.875

$P(C|A\ \text{and}\ B)=0.875$ 。一方、

場合、

= 0.78になります。

P (A and B) = 0.9

$P(A\ \text{and}\ B)=0.9$

P (C | A and B)

$P(C|A\ \text{and}\ B)$

および場合、両方が可能になりました。したがって、が何であるかを確実に判断することはできません。 $P(C|A)=0.9$ $P(C|B)=0.8$ $P(C|A\ \text{and}\ B)$

— マイケル・R・チャーニック
ソース

こんにちはマイケル、私があなたを正しく読んだ場合、あなたは提起された質問には答えられないと言っている、そうですか？または、別の言い方をすれば、この質問に答えるにはさらに情報が必要でしょうか？1.私の最初の質問にある希少な血液型は、髪を長く伸ばしたいという人の欲求や能力に影響を与えないと仮定しましょう。質問に回答できますか？2.答えが0.9より大きくなければならないことに同意しますか？（独立した情報の2番目の部分-血液型-があるため、それはその人が女性であるという仮説を補強します）

— おそらく

2

場合はある独立した、その後、、あなたは人々の割合、すなわち長い髪を、持っているものを指定する必要があります、および血液型Ax3を持つ人の割合、つまりです。また、答えが0.9より大きくなければならないということはできません。これは、

（理由はわかりません

述べるのと同等です。

P (A and B)

$P(A\text{ and }B)$

P (A and B) = P (A) P (B)

$P(A\text{ and }B)=P(A)P(B)$

P (A)

$P(A)$

P (B)

$P(B)$

P (C | A and B) > 0.9

$P(C|A\text{ and }B)>0.9$

— ネストール

2

@ProbablyWrong。はい、最初に述べた問題には、一意の答えを得るための情報が不十分です。

— マイケルR.チャーニック

Micahaelの@Néstor、私は、髪の毛が長い人の割合、または血液型AX3の人の割合を知る必要があることに同意しません。元の質問への答えはこれらを知らなくても一意に解決すると思います（AとBが独立しており、私たち全員が持っていると仮定し、人口全体の男女の分割を知っていると仮定すると、それは約50:50だと不合理ではない、おもう）。

— おそらく

7

なぜ

私は考え

P (C | A and B) = P (A and B and C) \times P (A and B) ? ?

$P(C|A\ \text{and}\ B)=P(A\ \text{and}\ B\ \text{and}\ C)\times P(A\ \text{and}\ B)??$

条件付確率の定義を使用。

P (C | A \cap B) = \frac{P (C \cap (A \cap B))}{P (A \cap B)} = \frac{P (A \cap B \cap C)}{P (A \cap B)}

$P(C|A\cap B)=\frac{P(C \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)}=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(A\cap B)}$

— ディリップサルワテ

4

興味深い議論！P（A）とP（B）を指定したのか、P（C | A、B）の範囲が完全な間隔[0,1]よりも狭くならないのか、多くの制約のためか我々は持っています。

上記で紹介した表記法に固執します。

A =人が長い髪を持つイベント

B =人が血液型AX3を持っているイベント

C =人が女性であるイベント

P（C | A）= 0.9

P（C | B）= 0.8

P（C）= 0.5（つまり、人口全体で男性と女性の比率が等しいと仮定しましょう）

$P(A \wedge B | C) = P(A| C) \cdot P(B| C) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)}$

それから

$P(C| A \wedge B ) = P(A \wedge B | C) \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)} \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right)$

$P(A \wedge B) = P(A) P(B)$

$P(C| A \wedge B ) = \frac{P(C| A) \cdot P(C| B)}{P(C)} = \frac{0.9 \cdot 0.8}{0.5} > 1$

$P(C | A \wedge B)$ $[0,1]$ $P(A)$ $P(B)$ $P(A)$ $P(B)$

$P(C | A \wedge B)$

1.上部の長方形で覆われた上部領域の割合（A TRUE）は、等しくなければなりません。 $P(C|A)=0.9$

2. 2つの長方形の面積の合計は、等しくなければなりません。 $P(C)=0.5$

3. 2つの色付きの長方形の面積の割合の合計（つまり、イベントBとの重なり）は、等しくなければなりません。 $P(C|B)=0.8$

4.（自明）上の長方形は左境界を越えて移動することはできず、左への最小オーバーラップを超えて移動してはなりません。

5.（自明）下部の長方形は右の境界を越えて移動することはできず、右の最大オーバーラップを超えて移動するべきではありません。

$P(C | A \wedge B)$ ここに画像の説明を入力してください

P（A）およびP（B）（Rスクリプト）の可能な値の範囲を実行すると、このグラフが生成されますここに画像の説明を入力してください

結論として、特定のP（A）、P（B）の条件付き確率P（c | A、B）の下限を設定できます。

— マルクス・ロッチャー
ソース

2

A, B,

$A, B,$

C

$C$

1

@whuber：役に立つコメントをありがとう！新しい編集により読みやすく、明確になることを願っています。

— マーカスレーチャー

@whuberその他：私は議論を再燃させることを望んでいましたが、スレッドは非アクティブになったようです？誰からのコメントもありませんか？

— マーカスレーチャー

1

カーテンの後ろの人は女性だという仮説を立ててください。

つまり、次の2つの証拠が与えられます。

証拠1：私たちはその人が長い髪を持っていることを知っています（そして長い髪を持つすべての人々の90％が女性であると言われています）

証拠2：血液型AX3がまれであることを知っています（この血液型を持つ人の80％は女性であると言われています）

証拠1だけを考えると、カーテンの後ろの人は女性である確率値が0.9であると述べることができます（男性と女性の50:50の分割を想定）。

スレッドで以前に提起された質問、つまり、「答えは0.9よりも大きくなければならないことに同意しますか？」に関して、数学を行わずに、直感的に答えは「はい」でなければなりません（0.9よりも大きい）。論理は、証拠2が証拠を裏付けているということです（ここでも、世界の男女の数を50:50に分割すると仮定しています）。AX3タイプの血液を持つすべての人々の50％が女性であると言われた場合、エビデンス2は中立であり、関係はありません。しかし、この血液型を持つすべての人々の80％が女性であると言われているので、証拠2は証拠を裏付けており、論理的に女性の最終確率を0.9を超えるはずです。

特定の確率を計算するには、エビデンス1にベイズのルールを適用し、次にベイジアン更新を使用してエビデンス2を新しい仮説に適用します。

仮定：

A =人が長い髪を持つイベント

B =人が血液型AX3を持っているイベント

C =人が女性であるイベント（50％と想定）

エビデンス1へのベイズ規則の適用：

P（C | A）=（P（A | C）* P（C））/ P（A）

この場合も、男性と女性の間で50:50に分割すると仮定すると：

P（A）=（0.5 * 0.9）+（0.5 * 0.1）= 0.5

したがって、P（C | A）=（0.9 * 0.5）/ 0.5 = 0.9（驚くことではありませんが、男性と女性の間で50:50の分割がなかった場合は異なります）

ベイズ更新を使用してエビデンス2を適用し、新しい事前確率として0.9をプラグインすると、次のようになります。

P（C | A AND B）=（P（B | C）* 0.9）/ P（E）

ここで、P（E）は、人がすでに女性である可能性が90％であるという仮説を与えられた証拠2の確率です。

P（E）=（0.9 * 0.8）+（0.1 * 0.2）[これは総確率の法則です：（P（woman）* P（AX3 | woman）+ P（man）* P（AX3 | man）] 、P（E）= 0.74

したがって、P（C | A AND B）=（0.8 * 0.9）/ 0.74 = 0.97297

— RandomAnswer
ソース

1

あなたの答えには、私には意味のないいくつかの記述があります。（1）仮定によるP（C | A）= 0.9。P（C）= 0.9とは言われていません。P（C）= 0.5と仮定しました。（2）P（E）の結果はどのようにして得ましたか？P（woman）= 0.9と書くと仮定すると、P（woman）= P（man）= 0.5です。

— マイケルR.チャーニック

P（C）の値は0.5と想定されており、これは私が使用したものです。P（E）の値は、エビデンス1を適用した後のエビデンス2の確率です（これは、人が女性である確率が0.9であるという新しい仮説につながります）。P（E）=（人が女性である確率（Evience 1が与えられる）*女性が人の場合AX3を持つ確率）+（人が男性である確率（Evience 1が与えられる）*人がAX3を持つ確率男性の場合）=（0.9 * 0.8）+（0.1 * 0.2）= 0.74

— RandomAnswer

Eの確率の定義は少しわかりにくく、それを計算するために使用している用語は以前に書いたものとは異なって見えます。しかし、それは本当に重要ではありません。答えは、Huuがうまく提示した答えに基づいて、明らかに正しいです。

— マイケルR.チャーニック

@Michael Huuは間違いを犯したようです。

— whuber

2

この答えは単に間違っています。他のエラーがあるかもしれませんが、これは明白です。P（ "Has Long Hair"）（P（A））の最終的な答えを述べ、それを使用して最終的な最終的な答えを出します。P（F）= 0.5と仮定しても、これを判断するのに十分な情報がありません。P（A）を計算するための線はどこからでも来ているようです。ベイズの定理を使用した正しい式は次のとおりです。P（A）= P（A | F）P（F）/ P（F | A）ここから、指定された仮定を使用して、P（A）= P（A | F）* 5/9。ただし、P（A | F）はまだわかりません。

— ボグダノビスト

0

質問の修正と一般化

$A$ $B$ $C$ $0$ $1$ $Z_i$ $Z$ $i$ $(X | Y)$ $X$ $Y$ $(A_a | B_b C_c I)$

$(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$
$(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$ $(B C | I) = (B | I)(C | I)$
$(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$ $(A_0 | I) = \frac{1}{2}$
$(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$ $(A_0 | I) = \frac{1}{2}$ $(B C | I) = (B | I)(C | I)$

$I$

(B_{j} C_{k} | I) = (B_{j} | I) (C_{k} | I), j = 0, 1 k = 0, 1

$(B_j C_k | I) = (B_j | I)(C_k | I) \quad , \quad j = 0, 1 \quad k = 0,1$

回答

事例1

$(ABC | I)$ $(ABC | I)$

さまざまな難解な手段によって、情報が解決策を決定しない場合に割り当てる分布は、既知の情報と一致するすべての分布の中で最大のエントロピーを持つ分布であることが示されています。他の分布は、既知の情報よりも多くを知っていることを意味しますが、これはもちろん矛盾です。

- \sum_{i, j, k} (A_{i} B_{j} C_{k} | I) \ln (A_{i} B_{j} C_{k} | I)

$- \sum_{i,j,k} (A_i B_j C_k | I) \ln (A_i B_j C_k | I)$

\sum_{i, j, k} (A_{i} B_{j} C_{k} | I) = 1

$\sum_{i,j,k} (A_i B_j C_k | I) = 1$

(A_{a_{1}} | B_{b_{1}} I) = u_{1} i.e. \frac{\sum_{k} (A_{a_{1}} B_{b_{1}} C_{k} | I)}{\sum_{i, k} (A_{i} B_{b_{1}} C_{k} | I)} = u_{1}

$(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1 \quad\quad \text{i.e.} \quad \frac{\sum\limits_k (A_{a_1} B_{b_1} C_k | I )}{\sum\limits_{i,k} (A_i B_{b_1} C_k | I)} = u_1$

(A_{a_{2}} | C_{c_{2}} I) = u_{2} i.e. \frac{\sum_{j} (A_{a_{2}} B_{j} C_{c_{2}} | I)}{\sum_{i, j} (A_{i} B_{j} C_{c_{2}} | I)} = u_{2}

$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2 \quad\quad \text{i.e.} \quad \frac{\sum\limits_j (A_{a_2} B_j C_{c_2} | I)}{\sum\limits_{i,j} (A_i B_j C_{c_2} | I)} = u_2$

$\longleftrightarrow A_1$
$\longleftrightarrow B_1$
$\longleftrightarrow C_1$

$a = 1$ $b = 1$ $c = 1$ $a_1 = 1$ $b_1 = 1$ $a_2 = 1$ $c_2 = 1$ $u_1 = 0.9$ $u_2 = 0.8$ $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.932$ 。したがって、カーテンの後ろの人が女性である確率は、彼/彼女が長い髪と血液型AX3を持っていることを考えると、0.932です。

事例2

$B$ $C$

\begin{aligned} (B_{0} | C_{l} I) & = (B_{0} | I), l = 0, 1 \end{aligned}

$\begin{align*} (B_0 | C_l I) &= (B_0 | I) \quad , \quad l = 0, 1 \\ \end{align*}$

\begin{aligned} \frac{\sum_{i} (A_{i} B_{0} C_{l} | I)}{\sum_{i, j} (A_{i} B_{j} C_{l} | I)} & = \sum_{i, k} (A_{i} B_{0} C_{k} | I), l = 0, 1 \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\sum\limits_i (A_i B_0 C_l | I)}{\sum\limits_{i,j} (A_i B_j C_l | I)} &= \sum_{i,k} (A_i B_0 C_k | I) \quad , \quad l = 0, 1 \end{align*}$

(A_{1} | B_{1} C_{1} I) ≃ 0.936

$(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.936$

事例3

(A_{0} | I) = \frac{1}{2} i.e. \sum_{j, k} (A_{0} B_{j} C_{k} | I) = \frac{1}{2}

$(A_0 | I) = \frac{1}{2} \quad \quad \text{i.e.} \quad \sum_{j,k} (A_0 B_j C_k | I) = \frac{1}{2}$

(A_{1} | B_{1} C_{1} I) ≃ 0.973

$(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.973$

事例4

$(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.989$

— CarbonFlambeはモニカを復活させます
ソース

-2

私は今、人口全体の男性と女性の比率を仮定すると、単一の議論の余地のない答えがあると信じています。

A =人が長い髪を持つイベント

B =人が血液型AX3を持っているイベント

C =人が女性であるイベント

P（C | A）= 0.9

P（C | B）= 0.8

P（C）= 0.5（つまり、人口全体で男性と女性の比率が等しいと仮定しましょう）

この場合、P（C | AおよびB）= 0.972973

— おそらく間違っている
ソース

P [C | AとB）= P（AとBとC）/ P（AとB）= P（AとBとC）/ [P（A | B）P（B）]。どのようにして式を取得しましたか？

— マイケルR.チャーニック

おそらく、条件を追加して一意の答えを得る方法があります。

— マイケルR.チェルニック

AとBを独立して追加するには、式をP（AとBとC} / [P（A）P（B）] = P（BとC | A）/ P（B）に簡略化します

— Michael R.チャーニック

2

私の質問の目的は、本当にあなたが公式を正当化することでした。私はそれがどのように派生するか理解していません。

— マイケルR.チェルニック

2

いいえ、おそらくベイズ規則を使用したと思われる答えは間違っています。なぜあなたが混乱しているのか分かりません。上のMCの式は正しいので、結果を得るために使うことはできません。それが彼とWhuberの質問に対する答えです

— ボグダノビスト

-2

注：最終的な回答を得るために、以下の回答では、AX3を持つ人、長髪の男性、および長髪の女性の確率はほぼ同じであると仮定しています。より高い精度が必要な場合は、これを確認する必要があります。

あなたはその人が長い髪を持っているという知識から始めるので、この時点での確率は次のとおりです。

90:10

注：一般的な人口の男性と女性の比率は、その人が長い髪を持っていることがわかれば重要ではありません。たとえば、一般人口で100人に1人の女性がいる場合、ランダムに選択された長髪の人は、90％の割合で女性のままです。男性と女性の比率は重要です！（詳細については、以下の更新を参照してください）

次に、その人がAX3を持っていることを学びます。AX3は長い髪とは無関係であるため、男性と女性の比率は50:50であることがわかっており、確率が同じであるという仮定のために、確率の各側を単純に乗算して、確率の辺は100に等しい：

(90:10) * (80:20)
==> 7200:200

    Normalize by dividing each side by (7200+200)/100 = 74

==> 7200/74:200/74
==> 97.297.. : 2.702..

したがって、カーテンの後ろの人が女性である可能性は約97.297％です。

更新

問題のさらなる調査は次のとおりです。

定義：

f - number of females
m - number of males
fl - number of females with long hair
ml - number of males with long hair
fx - number of females with AX3
mx - number of males with AX3
flx - number of females with long hair and AX3
mlx - number of males with long hair and AX3
pfl - probability that a female has long hair
pml - probability that a male has long hair
pfx - probability that a female has AX3
pmx - probability that a male has AX3

まず、長髪の人の90％が女性であり、AX3を持つ人の80％が女性であることが与えられています。

fl = 9 * ml
pfl = fl / f
pml = ml / m 
    = fl / (9 * m)

fx = 4 * mx
pfx = fx / f
pmx = mx / m 
    = fx / (4 * m)

AX3の確率は性別や長い髪に依存しないと仮定したため、計算されたpfxは長い髪を持つ女性に適用され、pmxは長い髪を持つ男性に適用され、AX3を持つ可能性が高い女性の数を見つけます。

flx = fl * pfx 
    = fl * (fx / f) 
    = (fl * fx) / f
mlx = ml * pmx 
    = (fl / 9) * (fx / (4 * m)) 
    = (fl * fx) / (36 * m)

したがって、長い髪とAX3を持つ女性の数と長い髪とAX3を持つ男性の数の比率は次のようになります。

flx             :   mlx
(fl * fx) / f   :   (fl * fx) / (36 * m)
1/f             :   1 / (36m)
36m             :   f

50:50の等しい数があることが与えられているため、両側をキャンセルし、すべての男性に対して36人の女性で終わることができます。そうでない場合、指定されたサブグループのすべての男性に対して36 * m / fの女性がいます。たとえば、男性の2倍の女性がいる場合、長髪とAX3を持つ男性の各男性に対して72人の女性が存在します。

— ブリガイ37
ソース

1

この解決策は、問題で現在述べられている以上のことを前提としています。つまり、長い髪、AX3、および性別は独立しているということです。そうしないと、長い髪、などと女性に「適用」PFXを正当化することはできません

— whuber

@whuber：はい、そう思います。しかし、確率の目的は、あなたが持っているデータに基づいて最良の近似を与えることではありませんか？したがって、長髪とAX3は一般集団に対して独立していることを既に知っているので、そうでないと明示的に学習するまで、その仮定を男性と女性に引き継ぐ必要があります。確かに、それは普遍的に正しいものではありませんが、より多くの情報を得るまであなたが作ることができる最高のものです。Q：現在のデータのみで、カーテンの後ろにいる女性である可能性を％与えなければならない場合、「0〜100％の間」と本当に言いますか？

— Briguy37

1

哲学には重要な違いがあります、@ Briguy。根拠のない仮定を立てないことを強く信じています。相互独立性の仮定がどのような意味で「最良」であるかは明確ではありません。特定の用途に当てはまる可能性があります。しかし、一般的に、それは私にとって危険なようです。問題を解決するために必要な仮定について明確にしたいので、回答を得るために数学的に便利なことを仮定するのではなく、人々がそれらの仮定をチェックするためにデータを収集する価値があるかどうかを判断できます。それが統計と数学の違いです。

— whuber

あなたの質問に答えるには：はい、0％-100％がまさに私が与える答えです。（このサイトの比較可能な質問に同様の回答をしました。）その範囲は不確実性を正確に反映しています。この問題は、エルズバーグのパラドックスと密接に関連しています。エルズバーグのオリジナルの論文はよく書かれており、明確です。

— whuber

@whuber：私と対話してくれてありがとう。前提条件を熟考してリストすることの重要性についてのあなたの意見を見て、それに応じて私の答えを更新しました。しかし、あなたの答えに関しては、不完全だと思います。これは、すべての未知のケースを検討し、すべてのケースの平均確率を見つけて最終回答に到達できるためです。EG両方とも可能ですが、50％を超える確率はすべてのケースで50％を下回る確率よりもはるかに一般的であるため、女性であると推測する方が確実です。

— Briguy37

-4

98％女性、シンプルな補間。最初の前提は女性90％、10％を残し、2番目の前提は既存の10％の2％のみを残すため、98％は女性です

— xcythe
ソース