X1,…,XnX¯=X1+X2⋯+Xnn.
Pr{X¯≠0}=1Xii=1,…nXi/X¯X1X¯∼X2X¯∼⋯∼XnX¯.
E[Xi/X¯]E[X1X¯]=E[X2X¯]=⋯=E[XnX¯],
i=1,…,nE[XiX¯]=1n(E[X1X¯]+E[X2X¯]+⋯+E[XnX¯])=1nE[X1X¯+X2X¯+⋯+XnX¯]=1nE[X1+X2+⋯+XnX¯]=1nE[nX¯X¯]=nnE[X¯X¯]=1.
簡単なモンテカルロでこれを確認できるか見てみましょう。
x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))
[1] 1.00511
結構です。繰り返しを行っても結果はそれほど変わりません。