これはベイズ推定器になるための*必要な*条件ですか、それとも十分なものですか？

ベイズ推定量は、ベイズリスクを最小化するものです。具体的には、場合に限り

$$\delta_{\Lambda} = \arg\min \operatorname{BR}(\Lambda,\delta) := \int R(\theta, \delta) d \Lambda(\theta) = \int \left( \int L(\theta, \delta(x))dx \right) d \Lambda(\theta)$$ ここで、$L(\theta, \delta(X))$与えられた損失関数であり、$R(\theta, \delta)$であります対応するリスク関数、および$\operatorname{BR}(\Lambda, \delta)$はベイズリスクとして定義され、$\delta_{\Lambda}$はベイズ推定量です。

定理4.1.1のp。カセッラの228、レーマン、点推定の理論、および定理7.1のp。キーナーの116、理論的統計：コアコースのトピックでは、\ delta _ {\ Lambda}がベイズ推定器になるための次の十分な条件を述べています。$\delta_{\Lambda}$

$$\forall x, \quad \delta_{\Lambda} = \arg\min \mathbb{E}\left[ L(\Theta, \delta(X))| X = x \right]$$

これは十分条件である理由は明らかである：第一積分する$x$、我々はによって得る積分の単調$\arg\min$ため$\mathbb{E}[L(\Theta, \delta(X))] = \int L(\Theta, \delta(x)) dx = R(\Theta, \delta)$。次に、\ thetaで積分すると、積分の単調性によって、ベイズリスクの\ arg \ minが$\theta$得られます。$\arg\min$

質問：\ delta _ {\ Lambda}がベイズ推定器になるためには、上記の条件が必要ですか？$\delta_{\Lambda}$

直感的には、ベイズ推定器の一意性（ -as）を保証する追加の条件がない限り、それが必要である理由はわかりません。また、私が上で述べた両方の本の証明は、必要性ではなく、十分性を示すだけのようです。$\mathcal{P}$

ただし、Wikipediaによると、「推定器は、すべての推定器の中でベイズリスクを最小化する場合、ベイズ推定器と呼ばれます。同等に、xごとに事後予測損失を最小化する推定器...」つまり、2つの条件が同等であること、つまり、後者の条件で十分であるだけでなく、必要であることが示唆されているようです。これは実際には一般的に正しいですか？

まず、条件はほぼ確実にで成り立ち、同じ議論が当てはまります。したがって、ベイズ推定量はほぼ確実に定義されるため、メジャーゼロの任意のセットで任意に変更できます。

$$\delta_{\Lambda} = \arg\min \mathbb{E}\left[ L(\Theta, \delta(X))| X = x \right]$$ $x$

第二に、複数のベイズ推定量がある状況があります。たとえば、これは私の本からの演習です：

2.40検討 および。損失（2.5.4）の下で、すべての、ベイズ推定器が一意ではないようなおよび値が存在することを示します。$\pi(\theta) = (1/3)(\mathscr{U}_{[0,1]}(\theta)+\mathscr{U}_{[2,3]}(\theta)+\mathscr{U}_{[4,5]}(\theta))$$f(x|\theta) = \theta e^{-\theta x}$$x$$k_1$$k_2$

ここで、損失（2.5.4）は

$$\begin{eqnarray} \mathrm{L}_{k_1,k_2} (\theta ,d) = \begin{cases} k_2(\theta -d) & \text{if }\theta > d, \cr k_1(d-\theta ) &\text{otherwise.} \cr\end{cases} \end{eqnarray}$$

3番目に、ベイズリスクが無限大の場合、推定量はすべてベイズ推定量です。$\min \operatorname{BR}(\Lambda,\delta)$