生のスコアの標準偏差をパーセンテージの標準偏差として報告できますか？

30の質問で構成されるテストがあり、10人がこのテストを受けたとします。これらの10人の平均テストスコアは17で、サンプルのすべてのスコアの標準偏差は4です。学校で記述統計を報告するとき、これらの生のスコアを使用して書き込みます（M = 17、SD = 4）; しかし、場合によっては、パーセンテージを報告する方が良いと感じることがあります。私は、30を超える17をスコアするよりも、100を超える56.7をスコアすることの意味をより直感的に理解していると思います（おそらく、10進法に慣れているためです）。

したがって、上記の例の場合、平均と標準偏差を（M = 56.7％、SD = 13.3％）として報告することは可能でしょうか？

サンプルの試験スコアの標準偏差が13.3％であると言っても意味がありませんか？

これらのパーセンテージは、私が作成して上記で与えた生のスコアと算術的に同等ですが、そのようなパーセンテージに直接変換するのが良い方法かどうかはわかりません。

標準偏差は、一連のデータポイントに対して測定できる単なる統計的プロパティです。標準偏差自体は、データが通常分散されている、または線形またはその他の変換を通過していない、または通過していないことを想定していません。

したがって、パーセンテージスコアを含むすべてのデータで標準偏差を使用することは完全に許容されます。

特定のケースでは、適用している変換は次の形式の線形変換であることに注意してください。

$$y = Ax + b$$

つまり、アフィン変換。したがって、元の変換されていないデータの標準偏差を計算し、乗算しAて、変換後に標準偏差を取得できます。既に変換されたデータの標準偏差を計算するだけでなく、これを行うことには特別な利点はないようですが、安心できるかもしれません。

$A$

$\{X_1, X_2, ..., X_n\}$$\sigma$

$$\sigma_X^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)^2$$

$Y = AX + b$

$$\sigma_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j + b \right) \right)^2$$

$$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - n\frac{1}{n}b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$$

$$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$$

$$= A^2 \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( X_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( X_j \right) \right)^2 \right)$$

$$= A^2 \sigma_X^2$$

したがって

$$\sigma_Y = A \sigma_X.$$