ペアワイズ周辺分布から共同分布を取得

3つの確率変数があり、ペアワイズ周辺分布がわかっていると仮定しますが他には何も知りません（そのような条件付き独立として）。結合分布を取得できますか？ $X_1,X_2,X_3$ $P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$ $P(X_1,X_2,X_3)$

probability distributions

— starry1990
ソース

番号。

2変量（標準、独立）の正規マージンを持つ3変量分布を考えます。ただし、オクタントの半分は確率が0、半分は確率が2倍です。具体的には、八分円---、-++、+-+、++-が二重の確率を持つことを考慮してください。

その場合、2変量マージンは、3つのiid標準正規変量で得られるマージンと区別できません。実際、同じ2変量マージンを生成する無限の3変量分布があります。

Dilip Sawarteがコメントで指摘しているように、彼は本質的に同じ例を回答で話しました（ただし、2倍にされて0にされるオクタントを逆にします）、それをより正式な方法で定義します。Whuberは、（3変量の場合）次のようなベルヌーイ変量を含む例に言及しています。

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

...すべての二変量マージンは

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4

したがって、3つの独立した変量の場合（または実際に、依存関係の形式がまったく逆の3つ）と同等になります。

私が最初に書き始めた密接に関連した例には、より大きな確率とより低い確率のチェッカーボードパターン（通常のゼロとダブルを一般化）で交互の「スライス」を持つ3変量のユニフォームが含まれていました。

したがって、一般的に二変量マージンから三変量を計算することはできません。

— Glen_b-モニカの復活
ソース

+1。もう1つの標準的な例-可能な限り最も単純で、あなたの例に密接に関連しています-は、を独立したベルヌーイ変数にすることです。確率が等しい結果は8つしかないため、完全な分布を表にできます。それらの限界値とペアワイズ限界値は、をゼロの偶数に調整した後は同じですが（表の他の行を取り消し、すべての確率を2倍にするだけです）、2つの結合分布は明らかに異なります。

X_{i}

$X_i$

(1 / 2)

$(1/2)$

X_{i}

$X_i$

— whuber

+1三変量分布は、オクタント代わりに使用したことを除いて、この私の答えで詳細に記述されています。もちろん、これは@whuberによって言及されたベルヌーイ確率変数に関連しており、その例はバーンスタインに戻っていると思います。

+ + +, + - -, - + -, - - +

$+++, +--, -+-, --+$

— Dilip Sarwate 2017

しかし、あまり人為的なケースではないかもしれませんが、おそらくいくつかの限界が作られる可能性がありますか？

— kjetil b halvorsen 2017

ここにはコピュラソリューションが必要です。スクラーの定理は、n次元の場合への拡張を持っており、あなただけの周辺分布ではなく、より多くの情報を持っている二変量周辺分布が持っている

— Aksakal

Aksakalコピュラ自体は、依存関係ではなく依存構造を完全に指定します。限界を維持できるが、コピュラを変更できるという事実は、ここで同じ問題のより単純なバージョンです。

— Glen_b-モニカを復活させる'09 / 09/27