ベータ/ディリクレ回帰が一般化線形モデルと見なされないのはなぜですか？

前提は、Rパッケージbetareg^1のビネットからのこの引用です。

さらに、モデルはいくつかのプロパティ（線形予測子、リンク関数、分散パラメーターなど）を一般化線形モデル（GLM、McCullaghおよびNelder 1989）と共有しますが、このフレームワークの特殊なケースではありません（固定分散ではありません） ）

この答えは、事実を暗示しています。

[...]これは、応答変数がベータとして配布される場合に適したタイプの回帰モデルです。一般化線形モデルに類似していると考えることができます 。それはまさにあなたが探しているものです[...]（私の強調）

質問のタイトルはそれをすべて言っています：なぜベータ/ディリクレ回帰は一般化線形モデルと見なされないのですか？

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私の知る限り、一般化線形モデルは、独立変数を条件とする従属変数の期待に基づいて構築されたモデルを定義します。

$f$は期待値をマップするリンク関数、は確率分布、は結果、は予測子、\ betaは線形パラメーター、\ sigma ^ 2は分散です。$g$$Y$$X$$\beta$$\sigma^2$

$$f\left(\mathbb E\left(Y\mid X\right)\right) \sim g(\beta X, I\sigma^2)$$

異なるGLMは平均と分散の関係を課します（または緩和します）が、$g$は指数ファミリーの確率分布でなければなりません。これは、正しく思い出せば推定の堅牢性を向上させる望ましい特性です。ただし、ベータおよびディリクレ分布は指数関数ファミリーの一部であるため、私はアイデアを失っています。

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[1] Cribari-Neto、F.＆Zeileis、A.（2009）。Rのベータ回帰

元の参照を確認します。

フェラーリ、S。、およびCribari-Neto、F。（2004）。モデリング率と比率のベータ回帰。Journal of Applied Statistics、31（7）、799-815。

著者が述べているように、再パラメーター化されたベータ分布のパラメーターは相関しているため、

注パラメータは、そのとφは、一般化線形回帰モデル（McCullaghが及びネルダー、1989）のクラスに検証されているものとは対照的に、直交していません。$\beta$$\phi$

したがって、モデルはGLMのように見え、GLMのように見えますが、フレームワークに完全には適合しません。

@probabilityislogicによる答えは正しい方向に向かっています。

ベータ分布は、2つのパラメーターの指数ファミリーに属します。Nelder and Wedderburn（1972）によって記述された単純なGLMモデルには、2つのパラメーターの指数関数ファミリーのすべての分布が含まれていません。

N＆Wの記事の観点から、GLMは次のタイプの密度関数に適用されます（これは後に Jørgensen1987で指数分散ファミリーと名付けられました）。

$$\pi(z;\theta,\phi) = \exp \left[ \alpha(\phi) \lbrace z\theta - g(\theta) +h(z)\rbrace +\beta(\phi,z) \right]$$

追加のリンク機能を持つ自然パラメータおよび線形モデルθ = F （μ ）= F （X β ）。$f()$$\theta = f(\mu) = f(X\beta)$

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したがって、上記の分布も書き直すことができます。

$$\pi(z;\mu,\phi) = exp \left[z(f(\mu)\alpha(\phi)) +h(z)\alpha(\phi) - g(f(\mu))\alpha(\phi) +\beta(\phi,z) \right]$$

2つのパラメーターの指数ファミリーは次のとおりです。

$$f(z;\theta_1,\theta_2) = exp \left[T_1(z)\eta_1(\theta_1,\theta_2) + T_2(z)\eta_2(\theta_1,\theta_2) - g(\theta_1,\theta_2) +h(z) \right]$$

これは似ていますが、より一般的です（ 1つが一定の場合も同様）。$\theta$

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違いは明らかであり、ベータ分布をGLMとしてフォームに入れることもできません。

ただし、より直感的で十分な情報に基づいた回答を作成するための十分な理解がありません（さまざまな基本原則に対して、より深く、よりエレガントな関係があると感じています）。GLM は、最小二乗モデルの代わりに単一の変量指数分散モデルを使用して誤差の分布を一般化し、リンク関数を使用して平均の線形関係を一般化します。

最良かつ最も単純な直観は、指数の分散項であると思われます。これは、すべてで乗算されるため、分散はθで変化しません。一方、いくつかの2つのパラメーター指数ファミリー、および準尤度法では、分散パラメーターもθの関数にできます。$\alpha(\phi)$$\theta$$\theta$

ベータ分布は指数分散ファミリーの一部ではないと思います。これを取得するには、密度が必要です

$$f (y;\theta,\tau)=\exp\left (\frac {y\theta - c (\theta)}{\tau} + d (y,\tau)\right)$$

指定された関数およびd （）の場合。平均は、以下のように与えられるC "（θ ）と分散は、以下のように与えられますτ C 」（θ ）。パラメータθは標準パラメータと呼ばれます。$c ()$$d ()$$c'(\theta)$$\tau c''(\theta)$$\theta$

ベータ分布をこのように書くことはできません-これを確認する1つの方法は、対数尤度に項がないことに注意することです-代わりにlog [ y ]とlog [ 1 − y ]があります$y$$\log [y]$$\log [1-y]$

$$f_{beta}(y;\mu,\phi)=\exp\left (\phi\mu\log\left[\frac {y}{1-y}\right] +\phi\log [1-y] - \log [B (\phi\mu,\phi (1-\mu)]-\log\left[\frac {y}{1-y}\right]\right)$$

ベータが指数分散ファミリではないことを確認するさらに別の方法は、y = xと書くことができることです（xとzは独立しており、両方とも同じスケールパラメーターでガンマ分布に従います（ガンマは指数関数族です））。$y=\frac {x}{x+z}$$x$$z$