期待が算術平均と同じなのはなぜですか？

今日、数学的期待と呼ばれる新しいトピックに出会いました。私がフォローしている本は、期待は確率分布から来るランダム変数の算術平均であると言っています。しかし、それはいくつかのデータの積とその確率の合計として期待を定義します。これら2つ（平均と期待）を同じにすることができますか？確率の合計とデータの積は、どのようにして分布全体の平均になりますか？

非公式には、確率分布は確率変数の結果の相対的な頻度を定義します-期待値はそれらの結果の加重平均（相対的な頻度で加重）と考えることができます。同様に、期待値は、発生確率に正確に比例して生成された一連の数値の算術平均と考えることができます（連続したランダム変数の場合、特定の値には確率があるため、これは正確に真実ではありません）。$0$

期待値と算術平均の関係は、離散確率変数で最も明確になります。ここで、期待値は

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

ここで、はサンプル空間です。例として、次のような離散確率変数があるとします。$S$$X$

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

つまり、確率質量関数は、、およびです。上記の式を使用すると、期待値は$P(X=1)=1/8$$P(X=2)=3/8$$P(X=3)=1/2$

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

ここで、確率質量関数に正確に比例する頻度で生成された数値を考えます。たとえば、数値のセット -2つの秒、6つの秒、8つの秒。次に、これらの数値の算術平均を取ります。$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$$1$$2$$3$

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

期待値と正確に等しいことがわかります。

期待値は、確率分布ではなく、ランダム変数の平均値または平均です。このように、離散ランダム変数の場合、ランダム変数が取る値の加重平均は、個々の値の相対的な発生頻度に応じて重み付けが行われます。絶対連続確率変数の場合、値xの積分に確率密度を掛けたものです。観測されたデータは、独立して同一に分布するランダム変数のコレクションの値として見ることができます。サンプル平均（またはサンプル期待値）は、観測データの経験的分布に関するデータの期待値として定義されます。これにより、単純にデータの算術平均になります。

定義に細心の注意を払いましょう。

平均は、コレクション内の数字の数で割った数字のコレクションの合計として定義されます。計算は、「1〜nのi（x sub iの合計）をnで割ったもの」になります。

期待値（EV）は、それが表す実験の繰り返しの長期平均値です。計算は「1からnのiに対して、イベントx sub iの合計にその確率を掛けたもの（およびすべてのp sub iの合計= 1）」となります。

公平なダイの場合、平均値とEVが同じであることが簡単にわかります。平均-（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6）/ 6-3.5およびEV：

prob xp * x

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

EV = sum（p * x）= 3.50

しかし、ダイが「公平」でない場合はどうでしょう。不公平なダイを作成する簡単な方法は、4、5、および6面の交点の角に穴を開けることです。さらに、新しく改善された曲がったダイスで4、5、または6を振る確率は.2であり、1、2、または3を振る確率は現在.133であるとしましょう。これは、6つの面を持つ同じダイで、各面に1つの数字があり、このダイの平均はまだ3.5です。ただし、このサイコロを何度も転がした後、イベントの確率はすべてのイベントで同じではなくなったため、EVは3.8になりました。

prob xp * x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = sum（p * x）= 3.80

繰り返しになりますが、注意して定義に戻ってから、あることは常に別のことと同じであると結論付けましょう。通常のダイがどのようにセットアップされているかを見て、他の7つのコーナーに穴を開けて、EVがどのように変化するかを確認してください。楽しんでください。

Bob_T

「平均」と「期待値」の唯一の違いは、平均は主に頻度分布に使用され、期待値は確率分布に使用されることです。頻度分布では、サンプル空間は変数とその出現頻度で構成されます。確率分布では、サンプル空間はランダム変数とその確率で構成されます。これで、サンプル空間のすべての変数の合計確率が1でなければならないことがわかりました。ここに基本的な違いがあります。期待の分母項は常に= 1です。（つまり、合計f（xi）= 1）ただし、頻度の合計（基本的にはエントリの合計数）にはこのような制限はありません。