「これまでで最高の統計質問」を変更すると、正しい答えは何になりますか？

「史上最高の統計質問」と呼ばれる人気のある質問があります。

この質問への回答をランダムに選択した場合、あなたが正しいと思われる可能性は何ですか？

A）25％B）50％C）60％D）25％

このタスクはそれほど難しくありません。正解は0％です。しかし、次のように変更すると、

この質問への回答をランダムに選択した場合、あなたが正しいと思われる可能性は何ですか？

A）50％B）25％C）60％D）50％

正解は何ですか？25％と50％の2つの正解がありますか、または正解はありません。この2つの正解では、正解を選択する機会は実際には75％です（ただし、75％は机に書かれていません） ）？

ところで。答え0％は正解のままですか、この場合は3番目の正解ですか。

（論理または確率の）明らかなパラドックスは、質問を明確かつ注意深く組み立てることによって解決できます。

次の分析は、回答を擁護するという考えに基づいています。受験者が、回答が実際に正しい可能性のある状況（利用可能なすべての情報と一致）を示すことができる場合、正しいとマークする必要があります。同様に、そのような防御が存在しない場合、答えは正しくありません。それ以外の場合は正しいと見なされます。これは、（善良で合理的な）採点者と（合理的な）受験者間の通常の相互作用をモデル化します:-)。明らかなパラドックスは、2番目の質問に対して複数のそのような防御策を提示することによって解決されます。

私はこれらの質問における「ランダム」の意味を通常の意味でとります。ランダムな回答の選択をモデル化するために、各回答を紙片（「チケット」）に書き、それをボックスに入れます。チケットは合計4枚。ボックスからチケットを引き出す（ボックスの内容を注意深く盲目的にシャッフルした後）ことは、「ランダム」選択の物理モデルです。対応する確率モデルを動機づけ、正当化します。

さて、「正しい」とはどういう意味ですか？私の知らないところで、私はすべての可能性を探ります。いずれにせよ、私は、チケットの0、1、またはそれ以上が「正解」である可能性があると確信しています。（どうすればわかりますか？単純にグレーディングシートを調べます！）私は、正しいチケットごとに値を書き込み、その他のチケットにはを書き込むことによって、「正しい」解答としてマークします。これは日常的なことであり、議論の余地はありません。$1$$0$

明白で重要なことに注意してくださいまたはを書き込むためのルールは、各チケットに書かれた回答にのみ基づいている必要があります。数学的には、リストされた回答のセットを送信するマッピング（または再割り当て）（両方の質問で）をセットます。このルールは自己整合性のために必要です。1 { 0.25 、0.50 、0.60 } { 0 、1 $0$$1$$\{.25, .50, .60\}$$\{0,1\}$

質問の確率的要素に移りましょう。定義により、チケットがランダムに抽選された場合に正しくなる可能性は、マークされた値の期待です。期待値は、チケットの値を合計し、それをその総数で割ることによって計算されます。したがって、、、、、またはいずれかになります。.25 .50 .75 $0$$.25$$.50$$.75$$1$

うマーキング意味をなすものとするその答え期待を等しくでマークされているだけのチケット sが$1$。これも自己矛盾のない要件です。これが問題の核心であると私は主張します。意味のあるマーキングを見つけて解釈することです。何もない場合は、質問自体を無意味なものとしてブランド化できます。独自のマーキングがあり、論争はありません。2つ以上のマーキングに意味がある場合にのみ、潜在的な問題が発生します。

どのマーキングが意味がありますか？

徹底的に検索する必要すらありません。 最初の質問では、チケットに記載されている期待値は25％、50％、60％です。後者は4枚のチケットでは不可能です。1つ目は、マークするチケットを1つだけ必要とします。第二に、2枚のチケット。これにより、最大探索可能なマーキングが得られます。意味のある唯一のマーキングは、各チケットに秒を付けます。このマーキングでは、期待値はです。それは最初の質問への述べられた答えを正当化します。（間違いなく、最初の質問に対する唯一の正しい答えは、答えを選択することではありません！）0 （0 + 0 + 0 + 0 ）/ 4 = $3+3=6$$0$$(0+0+0+0)/4 = 0$

2番目の質問では、同じ答えが表示されます。また、探索する6つのマークがあります。今回は、3つのマーキングに一貫性があります。私はそれらを表にします：

Solution 1                Solution 2                Solution 3
Ticket Answer Mark        Ticket Answer Mark        Ticket Answer Mark
     A    50%    1             A    50%    0             A    50%    0
     B    25%    0             B    25%    1             B    25%    0
     C    60%    0             C    60%    0             C    60%    0
     D    50%    1             D    50%    0             D    50%    0

したがって、2番目の問題には3つの明確な「正しい」の定義があり、AまたはDが正しい（ソリューション1）か、Bのみが正しい（ソリューション2）か、答えがどれも正しくない（ソリューション3）。

この状況を解釈する1つの方法は、回答A、B、およびDのそれぞれについて、それらの回答を正しくするチケットをマークする少なくとも1つの方法が存在することです。 これは、3つすべてが同時に正しいことを意味するものではありませんであるため、正しくない可能性があります。あなたがテストの採点者である場合、A、B、またはDのいずれかを正しいとマークすると、受験者からの議論は得られません。しかし、それらのいずれかを正しくないとマークした場合、$.25 \ne .50$ 受験者はあなたの採点に異議を唱える正当な根拠があります。彼らはソリューション1またはソリューション2のいずれかを呼び出します。実際、受験者が質問に答えることを拒否した場合、ソリューション3は彼らの非-応答も完全な信用を得るべきです！

要約すると、この分析は、質問2に対する次の回答のいずれも防御可能であるため、正しいとマークする必要があると結論付けて、質問の2番目の部分に対処します：A、B、D、A、D、および何も。他の対応は防御できないため、正しくありません。

ここには確率に加えて意味論の問題があると思います。ランダムに選択するのは明らかです。A、B、C、Dのそれぞれが25％選択されます。しかし、無作為に選んだときに正しいとはどういう意味ですか？それはあなたがAを選択することを考えると意味するように思われます答えはB、C、Dで正しく同じであるサンプルの正しい％を与えます正しい割合を取得するためのすべての正解。しかし、これは循環的な議論につながります。したがって、パラドックス。これは、確率や統計ではなく、ロジックの問題のようです。

whuberは、複数の回答が許可される優れた分析を提供します。ただし、正解が1つだけになるように質問を理解する一貫した方法もあります（ただし、これを質問の一部として述べる必要があります）。

この質問への回答をランダムに選択した場合、正解が1つしかない場合、あなたが正解になる可能性はどのくらいですか。

A）50％B）25％C）60％D）50％

繰り返しますが、「正しい」答えを合理的に守れるものとして定義し、whuberの主張に従います。マーキングは、への回答のセットからのマップであり、正解は1に送信され、不正解は0に送信されます。3つの自己矛盾のないマーキングがあります。$\{0,1\}$

Solution 1                Solution 2                Solution 3
Ticket Answer Mark        Ticket Answer Mark        Ticket Answer Mark
     A    50%    1             A    50%    0             A    50%    0
     B    25%    0             B    25%    1             B    25%    0
     C    60%    0             C    60%    0             C    60%    0
     D    50%    1             D    50%    0             D    50%    0

しかし、これらを単一の防御可能な答えに絞り込むための別の論理的なステップが必要です。この問題を作成する際、教師は3つの可能なマークに直面しました。それぞれのマークは、他のマークと同じように許容できる単一の回答である可能性があります。ただし、正解は1つだけなので、教師はそれらの中からランダムに選択する必要があります。これにより、各マーキングに等しい確率が割り当てられ、次のようになります。

• 50 $1/3$の学生が右になります時間のの時間$50\%$
• 25 $1/3$の学生が右になります時間のの時間$25\%$
• 0 $1/3$の学生が右になり、時間のの時間$0\%$

これにより、生徒は正しい％の確率で期待されます。したがって、25％が正解であり、ソリューション2のマーキングが選択されます。これは、3つの可能なマーキングに対する教師の事前の自己矛盾のない更新です。つまり、ソリューション2が100％の確率で正しいマーキングになるように修正されている場合、25％が正解です。$(50+25+0)/3=25$

概要：正解が1つだけであると指定した場合、その答えは25％になります。

答えは1/3だと思います。どの回答（25％、50％、または60％）が正しいかわかりません。したがって、25％、50％、60％の各回答は、選択された場合に1/3の確率で正解になります。25％は2回表示されますが、正解の確率は1/3です。実際には、25％が回答として何回表示されるかは問題ではありません。50％と60％とともに10回表示される場合でも、それが正解である可能性は1/3です。これは、答えの1つが正しいと想定しています。答えがどれも正しくない可能性がある場合、答えは1/4になります。これは、質問が何を求めているかについての私の解釈に基づいています。