なぜln [E（x）]> E [ln（x）]ですか？

私たちは金融コースで対数正規分布を扱っており、私の教科書はこれが真実であると述べているだけで、数学の背景があまり強くないのでイライラすることがわかりますが、直感が欲しいです。なぜこれが事実なのか誰にでも教えてもらえますか？

思い出してください$e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

したがって、$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

今せる、我々が持っています：$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

今、両側のログを取ります

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

代わりに：

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ （ここで）$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$（$\ln(t+1)\leq t$）

次に、両方の側の期待を受け入れます。

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

イラスト（ジェンセンの不平等との関係を示す）：

（ここで、XとYの役割は交換され、プロット軸に一致します。より良い計画を立てると、上記の役割が入れ替わり、プロットが代数により直接一致します。）

色付きの実線は、各軸の平均を表します。

関係「ベンドに向けて」いるので、我々は見てのとおり（「離れてから」と途中で）、の平均値（オレンジ色の横線）は、小さなギャップを与えるカーブを（押す前に、さらに少しに沿って行く（青でマーク）log（mean（y））とmean（log（y））の間（表示されます）。$X$$Y$$Y$