今日、Usain Boltよりも速い人がいますか？

編集：私は、サンプル統計が与えられた特定の母集団の「真の」最大値の可能性を決定する技術的な問題と方法論にもっと興味があります。記録的なダッシュタイムからボルト氏よりも速いランナーの可能性を推定することには、明らかで微妙な問題があります。これが事実ではないことを想像して私をユーモア。

ウサインボルトは、100 mのダッシュで計測された最速の人間です。しかし、アスリートの数が少ないことを考えると、生きている「真の」最速の人間はどこかにソファに座っており、競争力のあるランニングキャリアを試みたことはないようです。

正規分布の裾のサンプル間の差がますます小さくなるという事実を利用しようとしています。これを使用して、Usainを2番目に速い、3番目に速いなどと比較することにより、Usain Boltよりも速い誰かが存在する可能性を計算しています。

これを行うには、に関する正規分布のCDFの導関数を取得し、$y$それを番目（は約7,000,000,000またはの数）に上げることにより、「Usain Bolt」を超えて存在する最大値を計算しようとしています。「最大」よりも少ないサンプル-この背後にあるロジックは、ドイツの戦車問題ウィキペディアのページで説明されています。$n$$n$

$\int_{0}^{\infty}y f_{Y_N} (y)dy = \lambda n \int_{0}^{\infty} y \left [ \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{y-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \right ]^{n-1} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\, e^{-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}}dy$

1. これは、Usain Boltよりも速く誰かが存在する確率を計算する有効な方法ですか？

2. 「他のディストリビューションのドイツ戦車問題」以外に、この種の質問の名前はありますか

3. 分布の極端なサンプルから標準偏差を推定する良い方法はありますか？史上最速の100mダッシュに関する情報を見つけるのは簡単で、平均と分散を見つけるのは難しいです）

トピックの背景のないプログラマーに対処する忍耐に感謝します。

他の答えとは反対に、利用可能なデータが与えられれば、ボルトの能力について何か言うことができると主張します。まず、質問を絞りましょう。あなたは最速の人間について尋ねていますが、最高の女性ランナーの女性は最高の男性ランナーよりもわずかに遅いように見える男性と女性の走行速度の分布に違いがあるため、男性ランナーに焦点を当てる必要があります。いくつかのデータを取得するために、過去45年間の100ランで最高の年間パフォーマンスを見ることができます。このデータについて注意すべき点がいくつかあります。

• これらは最高の実行時間なので、すべての人間の能力についてではなく、達成された最小速度について教えてくれます。
• このデータは、世界最高のランナーのサンプルを反映していると想定しています。チャンピオンシップに参加しなかったさらに優れたランナーがいたこともあったかもしれませんが、この仮定はかなり合理的なようです。

まず、このデータを分析しない方法について説明しましょう。実行時間を時間に対してプロットすると、強い線形関係が観察されることがわかります。

これにより、線形回帰を使用して、今後数年間でどれほど優れたランナーを観察できるかを予測できます。しかし、これは非常に悪い考えであり、およそ2000年で人間はゼロ秒で100メートルを走ることができ、その後負の走行時間を達成し始めるという結論に至ります！これは明らかにばかげています。私たちの能力には、ある種の生物学的および物理的な限界があり、それは私たちには知られていないことが想像できます。

$Y = \max(X_1,X_2,\dots,X_n)$$X_1,X_2,\dots,X_n$$Y_i$$Z_1,Z_2,\dots,Z_k$がサンプルである場合、$-Z_i$は、最小のGEV分布に従います。したがって、GEV分布を走行速度データに適合させることができます。これにより、かなり良好な適合が得られます（以下を参照）。

モデルによって提案された累積分布を見ると、Usain Boltによる最適な実行時間は、Athletics Through Extreme-Value Theory論文の最低記録にあることがわかります。$1\%$分布のテール。したがって、このデータとこのおもちゃの例の分析に固執すれば、はるかに短い実行時間はありそうにないと結論付けます（しかし、明らかに、可能です）。この分析の明らかな問題は、最高の実行時間の年々の改善を見たという事実を無視することです。これにより、答えの最初の部分で説明した問題に戻ります。つまり、ここで回帰モデルを仮定するのは危険です。改善できるもう1つのことは、ベイジアンアプローチを使用して、生理学的に可能な実行時間に関するデータ不足の知識を説明する有益な事前情報を仮定できることです。これは現時点では不明です）。最後に、同様の極値理論がスポーツ研究ですでに使用されていました。例えば、Einmahl and Magnus（2008）

あなたは、より速い走る時間の確率についてではなく、より速い走者を観察する確率について尋ねることに抗議することができます。残念なことに、ここでは、ランナーがプロのアスリートになる可能性がわからず、記録されたランニング時間が彼に提供されるため、あまり多くのことはできません。これはランダムには発生せず、一部のランナーはプロのアスリートになり、一部のランナーはそうではないという事実（または誰かがランニングが好きで、まったく走ることさえある）という事実に寄与する多くの要因があります。このためには、ランナーに関する人口全体の詳細なデータが必要になります。さらに、分布の両極端について尋ねているため、データは非常に大きくなければなりません。したがって、これについては、他の答えに同意します。

私の最初の本能はこれは悪い考えですが、その理由を少し説明します。

1）観測可能な変数、潜在的なランニングスキル、および観測可能な変数、記録された実行時間を測定します。大丈夫ですが、ドイツの戦車問題では、シリアル番号はすべて同じ均一な分布から生成されます。あなたの問題では、観測可能な変数の実行時間から潜在変数のスキル（70億人）を推測する必要があります。GTPでは、複数のシリアル番号が知られています。あなたの問題では、データをまったく収集しておらず、ただ最大値（ボルト）になっています。さらに、この観察不可能な潜在スキルは実際の実行時間とは無関係であり、まったく実行したことがない人がボルトよりも優れている可能性があると仮定しているようです。それはばかげているようです！

2）運動選手は母集団のランダムなサンプルではありません。それらは複数の試行によって慎重に選択されます。走ることができる全員がおそらく人生で少なくとも一度は誰かと競い合っていると仮定し、各人がこれらの頻度またはどれだけ勝ったかに基づいて、より高いレベルの競争を続けるべきかどうかを決定したと仮定する場合人種---その後、ボルトが実際に存在する最速の人間であることは信じ難いようには見えません。

これらは、頭に浮かぶ最初の理由に過ぎません。正直なところ、あなたはこれを少し馬鹿にしています。あなたが話している種類の「確率」を測定する方法はありません。

答えはいいえだ。

母集団（アスリート）からサンプルがあり、このサンプルのボルトが最大であると仮定しています。したがって、母集団の最大値がサンプルの最大値よりも大きい確率を探しています。それがあなたの仮説です。

あなたの仮定が間違っていて、サンプルが実際に母集団だったとしたらどうでしょう？

私は、走ることができるすべての人に彼を打ち負かす機会があったという合理的な議論をすることができます。誰もしなかったので、彼は地球の人口の本当の最大値です。

アスリートがランダムなサンプルではないことは明らかです。これについて疑問がないことを願っています。もちろん、アスリートになる方法にはある程度のランダム性があります。一方、アスリートでない場合、彼の運動能力と成果はアスリートと比較されません。トレーニングのすべての条件が与えられ、ボルトと同じくらいハードにトレーニングされていることを考えると、誰かがボルトよりも潜在的に速く走ることができると思います。ただし、非アスリートを引き、陸上競技条件下で100mのダッシュでボルトを打つ可能性はゼロです。