XとYが無相関の場合、X ^ 2とYも無相関ですか？

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2つの確率変数とが無相関の場合、とが無相関であることもわかりますか？私の仮説はイエスです。 $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ 無相関は、または $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

それは次のことも意味しますか？

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— ベガード・スティクバケ
ソース

4

はい。この質問は以前に質問され回答されましたが、モバイルデバイスから特定の参照を見つけることができません。

— ディリップサルワテ

2

@DilipSarwate受け入れられた答えはすでに反例を示しているようです。

— Vimの

8

@DilipSarwateコメントでは「はい」ではなく「いいえ」を意味しているはずです！

— アメーバは、モニカを復活させる

11

@amoeba質問の元のバージョンでは、独立について質問されましたが、その答えは確かに「はい」です。その後、相関のないランダム変数について尋ねるように編集されました。現在、コメントを変更することはできません。

— ディリップサルワテ

元の質問は、独立の誤った定義を使用していたため、かなり混乱していました。現在の質問は、無相関であることから不適切な assertを主張しているため、依然として混乱しています（ます）。@vegardstikbakkeが独立した無相関の適切な定義を、いくつかの例を挙げて読んでくれることを願っています。

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

— メニローゼンフェルド

回答:

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いいえ。反例：

ましょ均一に分散させることが、。 $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

その場合、および（は奇数関数）であるため、は無相関です。 $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

しかし、 $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

最後の不等式は、ジェンセンの不等式から生じます。また、は定数ではないため、という事実からもます。 $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

あなたの推論の問題は、が依存し、逆もまた同様であるため、最後から2番目の等式が無効になることです。 $f_X$ $y$

— ヤクブ・バルチュク
ソース

8

ジェンセンの不平等により複雑化する必要はありません。は非負のランダム変数であり、 wp 1ではないため、（またはを実行してその正の値を簡単に確認できます））。

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— バットマン

1

プロットも追加する必要があります。私は同様の例を考えていました（-1：+1のY = | X |）が、それを視覚的に提示したでしょう。

— アノニムース

2

@Batman

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Jakub Bartczuk

1

@ Anony-Mousse Yを制限する必要はありません。Y= | X | 要件を満たします。

— ローレンペクテル

視覚化のためのLorenPechtel。私見のため、数学の結果が望みどおりであることだけでなく、なぜこれが起こるのかを見る方が良いです。

— アノニムース

20

$\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

$\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

$X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

それにもかかわらず、我々はまた、構築することができとあるよう：すべての極値が可能であるので、 $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— 銀魚
ソース

9

あなたの推論のエラーは、について以下を書くことです： while一般的に場合、つまりとが独立している場合、 2つは一致します。無相関であることは必要ですが、独立しているための十分な条件ではありません。したがって、2つの変数とが相関していないが依存している場合、とは相関する可能性があります。 $E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— ルカ・シティ
ソース

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