ベータ分布の部分的な期待値（切り捨てられたベータの平均）を計算する方法は？

ベータ分布がa = 2、b = 3の場合、区間[0、1] = a /（a + b）= 2/5 = 0.4および中央値=（a- 1/3）/（a + b-2 / 3）= 0.39、近いです。

私はpythonの解決策を探しています。scipy.stats.betaを使用して、間隔[ 0、0.4 ]の中央値をパーセントポイント関数で計算できます（cdfの逆数-パーセンタイル）：

beta.ppf(0.4/2,a,b) = 0.2504

このベータ分布では、全体の平均と中央値が近いため（それぞれ0.4と0.39）、間隔[0、0.4]の中央値を使用して、間隔[0、0.4]の期待値（平均）を推定します。

間隔[0、0.4]の期待値（平均）を計算する方法はありますか？

上部中央付近にあるベータ中央値（）の式は概算であることに注意してください。Pythonのベータ分布の逆累積分布関数（値関数）を使用して、効果的に「正確な」数値中央値を計算できるはずです（、およそ中央値が得られますが、式はを与え）。$\frac{\alpha-\frac13}{\alpha+\beta-\frac23}$$\text{beta}(2,3)$$0.3857$$0.3846$

切り捨てられた分布のこの平均は、ベータ版ではかなり単純です。正の確率変数の場合、

$E(X|X<k) = \int_0^k x\,f(x)\, dx / \int_0^k f(x)\, dx$

ここで、はパラメータおよびを持つベータの密度です（これを記述します）：$f$$\alpha$$\beta$$f(x;\alpha,\beta)$

$f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}\,,\:0<x<1,\alpha,\beta>0$

したがって、$x\,f(x) = \frac{B(\alpha+1,\beta)}{B(\alpha,\beta)} f(x;\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} f(x;\alpha+1,\beta)$

したがって、$E(X|X<k) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \int_0^k f(x;\alpha+1,\beta)\, dx / \int_0^k f(x;\alpha,\beta)\,dx$

現在、2つの積分は、Pythonですでに使用可能なベータCDFです。

我々が得る。これはシミュレーションと一致しています（シミュレーションはを与え）。$\alpha=2,\beta=3,k=0.4$$E(X|X<0.4)\approx 0.24195$$10^6$$\approx 0.24194$

中央値の場合、 、これもシミュレーションと一致しています（シミュレーションでは）。$F^{-1}(\frac12 F(0.4;2,3);2,3)\approx 0.25040$$10^6$$\approx 0.25038$

この場合、2つはかなり近いですが、それは一般的な結果ではありません。それらは時々もっと大きく異なるかもしれません。