ピライトレースとホテリングローリートレースの一般化はありますか？

多変量多重回帰（ベクトル回帰と回帰）の設定では、一般的な仮説（Wilkのラムダ、Pillai-Bartlett、Hotelling-Lawley、およびRoyの最大根）の4つの主要な検定はすべて、行列固有値に依存します。、ここで、及び「説明」および「合計」変化行列です。 $H E^{-1}$ $H$ $E$

ピライとホテリングローリーの統計はどちらもそれぞれ。と母集団類似体に対して定義されたこのトレースの分布が場合に重要であるアプリケーションを探しています。（私の作業におけるモジュロエラー。）一般的なサンプル統計の既知の統一、または4つの古典的な検定の2つ以上を取り込む他の一般化があるかどうか知りたいです。がまたは等しくないことを理解しています

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ 、分子はヌルの下でカイ二乗のように見えなくなったため、中央のF近似が疑わしいと思われるため、おそらくこれは行き止まりです。

ヌル（つまり、回帰係数の真の行列がすべてゼロ）の下と代替の下での分布についていくつかの研究があったことを願っています。私は特にケースに興味がありますが、一般的なケースで作業がある場合は、もちろんそれを使用できます。 $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— みすぼらしい
ソース

待ってくださいは「」で説明されるバリエーションで、は「T」のバリエーションです。ニーモニックを確認するだけです。

H

$H$

E

$E$

— 枢機卿

@cardinal、それは正しいです。場合、相関係数に多変量最小二乗適合であり、我々はとをマイケルフレンドリーの（文字通りの）全体像は私にとってかなり役に立ちました：psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/…– shabbychef '19

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— 06/19

ありがとう！ちょっと見てみます。（ちなみに、私は文字の選択に基づいてちょっといじめていました。「説明された」は「h」、「合計」は「e」です。）興味深い質問です。（+1）私から。

— 枢機卿、

@cardinal冗談に気付くにはカフェインが不十分でした。はい、ニーモニックは悪いですが、と（および）の選択はかなり標準的です。

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— shabbychef

冗談は十分にひどく、気付くのにたくさんのカフェインを必要としたでしょう。

— 枢機卿の

生産的な一般化は、

これらのテストの一部は、ベクトルノルムであるため、Hotelling-Lawleyのトレースはノルム、、そしてロイの最大の根はノルム、。 ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
これらのテストの一部は、行列ノルムである可能性があります。たとえば、ロイの最大の根は、スペクトル、または、ノルムです。 $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
一部のテストは一般化されたエントロピー形式である可能性があります。たとえば、Hotelling-LawleyのトレースはGE（1）、Royの最大の根はGE（）、およびWilksのは GE（-1）です。、それぞれ単調変換。 $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

他の規範または他の一般化されたエントロピーパラメータが楽しまれるとき、意味があるかもしれない他の統計に到達するかもしれません。ただし、それらのいずれかがを生成することはないとます。 $\psi_2$

— StasK
ソース

私たちは持っていると信じて、の固有値で。しかし、それは私をどこにも連れて行ってくれないようです。固有値の合計の分布についてはよくわかりません...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef