「絶対連続確率変数」対「連続確率変数」？

バレンティンV.ペトロフの著書「確率論の限界定理」では、次のように「連続」と「絶対連続」の分布の定義が区別されています。

X P （X ∈ B ） = 0 B P （X ∈ B ） = 0 B$(*)$ 「... 実線の点の有限または可算集合について場合、確率変数の分布は連続的であるといいます。場合、ルベーグメジャーゼロのすべてのボレル集合がゼロの場合、完全に連続する... "$X$$P\left(X \in B\right)=0$$B$$P\left(X \in B\right)=0$$B$

私が精通しているコンセプトは：

$(\#)$ 「確率変数に連続累積分布関数がある場合、それは完全に連続です。」

（∗ ）（＃$\textbf{My questions are:}$同じことについてと「絶対連続性」についての2つの説明ですか？はいの場合、1つの説明を別の説明にどのように変換できますか？$(*)$$(\#)$

ありがとうございました！

説明が異なります。最初のもののみが正しいです。この回答は、その方法と理由を説明しています。$(*)$

継続的な配布

「連続」分布は、連続関数の通常の意味で連続です。 一つの定義は、（通常、最初の人々は、教育に遭遇する）であることをそれぞれに対すると任意の数のが存在する（に応じてと）そのための値に -neighborhoodせいぜいによって異なるから。$F$X ε > 0 δ X ε F δ X ε F （X ）$x$$\epsilon\gt 0$$\delta$$x$$\epsilon$$F$$\delta$$x$$\epsilon$$F(x)$

それが実証このより短い工程である連続したときランダム変数の分布である次に、、任意の数のための。結局、連続性の定義は、を縮小してをと同じくらい小さくできることを意味し、（1）からこの確率はありませんより小さく、（2）は任意に小さくできます。つまり、ます。確率の可算加法性は、この結果を任意の有限または可算セット拡張します。$F$$X$$\Pr(X=x)=0$$x$$\delta$$\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$$\epsilon \gt 0$$\Pr(X=x)$$\epsilon$$\Pr(X=x)=0$$B$

絶対連続分布

すべての分布関数は、によって決定される正の有限測度定義します$F$ $\mu_F$

絶対連続性は測定理論の概念です。すべての測定可能なセット、意味する場合、1つのメジャーは、別のメジャー（両方とも同じシグマ代数で定義）に対して完全に連続です。言い換えると、と比較して、 "大きい"（ゼロ以外の）確率を割り当てる " 小さい"（ゼロの測定）セットはありません。$\mu_F$$\lambda$$E$$\lambda(E)=0$$\mu_F(E)=0$$\lambda$$\mu_F$

我々が取るであろうそのため、通常のルベーグ測度されることを間隔の長さである。後半状態確率測度そのは、ルベーグ測度に関して完全に連続です。$\lambda$$\lambda((a,b]) = b-a$$(*)$$\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

絶対的な連続性は微分可能性に関連しています。 （いくつかの点で互いに対してつのメジャーの誘導体）直観的概念である：の測定近傍の組取るまで縮小、それらの地域で2回の測定値を比較します。それらが常に同じ制限に近づく場合、どの近傍シーケンスが選択されても、その制限は微分です。（技術的な問題があります。「病理学的」形状を持たないようにそれらの近傍を制約する必要があります。それは、各近傍がそれが存在する領域の無視できない部分を占めるように要求することによって行うことができます。）$x$$x$$x$

この意味での差別化とは、正確には、連続分布の確率の定義とは何かという問題です。対処しています。

レッツ・書き込みの微分のためのに関して。関連する定理-これは微積分の基本定理の測度理論バージョンです- アサート$D_\lambda(\mu_F)$$\mu_F$$\lambda$

$\mu_F$に関して絶対連続である場合にのみ毎に測定可能なセットのための。[ルーディン、定理8.6]$\lambda$

$$\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$$ $E$

言い換えれば、（に関して）絶対連続性は、密度関数の存在と同等です。$\mu_F$$\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

概要

1. 分布時に連続している関数として連続している：直感的に、それは全く持っていない「ジャンプ」。$F$$F$

2. （ルベーグ測度に関して）密度関数がある場合、分布は完全に連続です。$F$

2種類の連続性が同等ではないことは、https： //stats.stackexchange.com/a/229561/919で詳述されているような、例によって示されています。これは有名なカントール関数です。この関数の場合、はほぼすべての場所で水平になり（グラフでなります）、はほぼすべての場所でゼロになるため、。これは明らかにの正しい値を与えません（総確率の公理によると）。$F$$D_\lambda(\mu_F)$$\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$$1$

コメント

統計アプリケーションで使用される事実上すべての分布は、絶対連続、どこでも連続（離散）、またはそれらの混合であるため、連続性と絶対連続性の区別はしばしば無視されます。ただし、この区別を正しく理解しないと、特に厳密さが最も必要な場合、つまり状況がわかりにくい場合や直感的でない場合など、泥だらけの推論や悪い直観につながる可能性があるため、正しい結果を得るために数学に頼っています。そのため、実際にはこのようなことはあまり行いませんが、誰もが知っておくべきです。

参照

ウォルター、ルーディン。 リアルで複雑な分析。McGraw-Hill、1974：セクション6.2（絶対連続性）および8.1（メジャーの導関数）。