モーメント生成関数と確率生成関数の違いは何ですか？

「確率生成関数」と「モーメント生成関数」という2つの用語を混同しています。これらの用語はどう違うのですか？

確率生成関数は通常、（非負の）整数値の確率変数に使用されますが、実際にはモーメント生成関数の再パッケージ化のみです。したがって、2つには同じ情報が含まれています。

ましょ非負の確率変数とします。次に（https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generated_functionを参照）、確率生成関数は で、モーメント生成関数は 、なるように 定義し。次に、 したがって、結論として、関係はシンプル： $X$M X（t ）= E e t X log z = t e t = z G （z ）= E z X = E（e t ）X = E e t X = M X（t ）= M X（log z ）G

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@Carlは、この式に関するコメントを「...偽である場合を除き、真です」と書いているため、コメントが必要です。もちろん、等式は両方が定義され、変数ドメインが与えられる必要があると仮定します。私はその形式がなくても投稿は十分に明確であると思ったが、はい、時々私はあまりにも非公式です。ただし、別のポイントがあります。はい、確率生成関数は、（非負の引数）確率質量関数にほとんど使用されます。しかし、これを前提とする定義には何もありません。これは、負でないランダム変数にも使用できます！例として、レート1の指数分布を取ると、を計算できます $G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$ これは、モーメント生成関数を使用するすべての目的に使用でき、2つの関数間の関係が満たされていることを確認できます。通常、これは行いません。おそらく、（おそらく）負の変数と非負の変数で同じ定義を使用する方が実用的です。しかし、数学によって強制されるわけではありません。

最初に両方を定義してから、差を指定しましょう。

1）確率理論と統計では、実数値のランダム変数のモーメント生成関数（mgf）は、確率分布の代替仕様です。

2）確率理論では、離散確率変数の確率生成関数（pgf）は、確率変数の確率質量関数のべき級数表現（生成関数）です。

mgfはpgfの一般化とみなすことができます。違いは、確率生成関数が離散確率変数に適用されるのに対して、モーメント生成関数が離散確率変数およびいくつかの連続確率変数に適用されることです。たとえば、ポアソン分布は離散的であるため、両方をポアソン分布に適用できます。実際、同じ形式の結果が得られます。。mgfのみが正規分布に適用され、mgfもpgfもコーシー分布には適用されませんが、わずかに異なる理由があります。$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

@kjetilbhalvorsenが指摘しているように、pgfは離散確率変数のみではなく非負に適用されます。したがって、現在のウィキペディアの確率生成関数のエントリには、省略の誤りがあり、改善する必要があります。