ドリフトを伴うランダムウォークの最大ドローダウンの累積分布を計算する

ランダムウォークの最大ドローダウンの分布に興味がありますここで、。期間後の最大ドローダウンはです。Magdon-Ismail らによる論文。al。ドリフトを伴うブラウン運動の最大ドローダウンの分布を与えます。式には、暗黙的にのみ定義されたいくつかの項を含む無限和が含まれます。収束する実装の記述に問題があります。CDFの代替表現やコードのリファレンス実装を知っている人はいますか？$X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$$n$$\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$

これは交互の合計です。連続する各ペアはほぼキャンセルされます。そのようなペアの和は最終的に単調に減少します。

次に、1つのアプローチは、 = {1,2}、{3,4}、{5,6}などのペアで合計を計算することです（これにより、多くの浮動小数点エラーも排除されます）。より多くのトリックが役立ちます：$n$

（1）正の定数を解決するには、検索の開始値として最適であり、最大の根に対する優れた近似は。私はニュートン・ラフソンが本当にうまくいくはずだと思います。α N 番目 T = （N + 1 / 2 ）π - $\tan(t) = t / \alpha$$\alpha$$n^\text{th}$$t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

（2）少数の初期項の後、ペアの合計は非常に一貫してサイズが減少し始めます。指数的に間隔を置いたペアの絶対値の対数は、ほぼ線形に急速に減少します。これは、非常に少数の計算されたペア合計の間を補間して、計算しなかったすべてのペア合計を推定できることを意味します。たとえば、ペア（2,3）、（4,5）、（8,9）、（16,17）、...、（16384、16385）のみの値を計算し、これらの補間多項式を作成することにより（1、2、...、14での関数の値として考えられる）および引数$h = \mu = \sigma = 1$、最悪の場合のエラーに対して6桁の精度を達成することができました。（より良い場合でも、エラーは符号で振動し、合計された補間値の精度は6桁よりもかなり良いかもしれないことを示唆しています。）これらの値の終わりから線形に外挿することにより、制限合計を良い精度に推定できるでしょう。をべき乗則に変換し、外挿関数を無限に統合します。この計算例を完了するには、最初の項も必要です。これにより、合計で計算された29の項のみによって6桁の精度が得られます。

（3）関数は実際にはとに依存しており、これら3つの変数すべてに個別に依存しているわけではありません。への依存度は（当然のことながら）弱いです。あなたはすべての計算を通してその値を修正することに満足しているかもしれません。μ / σ $h/\sigma$$\mu/\sigma$$T$

（4）これに加えて、Aitkenの方法のようないくつかの系列加速方法の使用を検討してください。これの良い説明は、数値レシピに記載されています。

追加されました

（5）積分の合計の裾を推定できます。を記述すると、方程式（with）を解くことができます用小型、その後のためにある、バック置換することにより実施されます。テイラー級数の接線を展開すると、近似解が得られます黄褐色（θ N）= θ N / α α = μ H / σ 2 T N θ 、N Tの$\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$$\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$$\alpha = \mu h / \sigma^2$$t_n$$\theta_n$$t_n$

$$\theta_n = z - \frac{\alpha}{ z} - \frac{\alpha^2 - \alpha^3/3 }{z^3} + O\left((\frac{\alpha}{n})^5\right)$$

ここで、です。$z = (n + 1/2)\pi$

提供十分に大きい、フォームの指数関数的なファクターは1に非常に近くなるため、無視できます。通常、これらの用語は、小さくてもために無視することができるのである、非常に急速にゼロへの最初の指数行くを作ります。（これは、が大幅に超えると発生します。可能であれば、大きなについて計算してください！）1 - EXP （ - σ 2 θ 2 N$n$、Nθ 2 N Θ（N2）Nα/T1/2$1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$$n$$\theta_n^2$$\Theta\left(n^2\right)$$n$$\alpha / T^{1/2}$$T$

この式をに使用してと項を合計すると、ようにそれらを近似できます（すべての煙がなくなると）。のn のn + $\theta_n$$n$$n+1$

$$\frac{2}{\pi n^2}-\frac{4}{\pi n^3}+\frac{13 \pi ^2+6 (4-3 \alpha ) \alpha }{2 \pi ^3 n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right) \text{.}$$

始まる合計を始まる積分で置き換えると、裾が近似されます。（積分には、共通因子を掛ける必要があります。）積分の誤差はです。したがって、3つの有意な数値を達成するには、通常、合計で約8項程度を計算してから、このテール近似を追加する必要があります。N N - 1 / 4 EXP （- α ）O （1 / N 4$n = 2N$$N$$N - 1/4$$\exp(-\alpha)$$O(1/n^4)$

あなたはを見て、開始される可能性がありますfBasicsでドローダウンの分布関数。したがって、ドリフトを伴うブラウン運動を簡単にシミュレートし、これらの関数を開始として適用できます。