対称分布の定義は何ですか？

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対称分布の定義は何ですか？誰かが、とが同じ分布を持っている場合に限り、ランダム変数 $X$ は対称分布から来たと私に言った。しかし、この定義は部分的に正しいと思います。私は反例提示することができますので、と。明らかに、対称的な分布を持っていますが、とは異なる分布を持っています！私は正しいですか？この質問について考えたことはありますか？対称分布の正確な定義は何ですか？ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— 石井SI
ソース

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「分布は対称的」と言うとき、どの点が対称的かを指定する必要があります。提示する正規分布の場合、対称性は

周りに与えられます。この場合には

および

同一の分布を有します。密度の点では、これはのように表すことができる：

約対称である

もし

μ

$\mu$

X - μ

$X-\mu$

- (X - μ)

$-(X-\mu)$

f

$f$

μ

$\mu$

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$ 。ところで、あなたがそれらの1つに満足しているとき、答えを受け入れるのは良いマナーです。

2

はい、私たちはこの質問について考えました。対称とは、通常、

に対称を意味し、さらに反例を未然に防ぐために、分布が対称であるという主張は、累積確率分布関数について当てはまるものではありません。あなたの「反例」は、点

についてではなく、点

について対称です。

0

$0$

μ \neq 0

$\mu \neq 0$

0

$0$

— ディリップサルワテ

2

@Dilip定義が何かを記述する1つの方法に依存しているが、その定義がその何かの固有のプロパティであることが示される場合、その定義を別の形式の記述に適用することは意味がありません。この場合、対称性は分布の特性ですが、その分布のすべての記述（PDFおよびCDFを含む）が同じ方法で「対称」でなければならないことを意味するものではありません。PDFの対称性をCDFに適用することにより、コメントは質問を明確にするのではなく混乱させます。

— whuber

1

shijing、@ Procrastinatorは、あなたが何の答えも受け入れずに多くの質問をしたことを観察しました。それは、このサイトがどのように機能するかについてあなたが不慣れかもしれないことを示唆しています。誤解を解消するために、よくある質問の関連部分を最後まで読んでください。数分で完了し、ガイダンスに従うことで、サイトの価値が高まります。

— whuber

@whuber CDFは、単語の分布が実際に名前に現れる数少ない記述の1つであり、対称性の特性がCDFに当てはまらないことを明確にしようとしていました。

— ディリップサルワテ

回答:

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簡単に説明すると、は $X$ $X$ ととが何らかの実数に対して同じ分布を持つです。 $2a-X$ $a$ それは多くの暗黙の疑問を提起するので、しかし、完全に正当化方法でこれに到着すると、いくつかの脱線や一般化を必要とします。なぜ、この「対称」の定義は？他の種類の対称性はありますか？分布とその対称性との関係は何ですか？逆に、「対称性」とその対称性を持つ可能性のある分布との関係は何ですか？

問題の対称性は実際の線を反映しています。すべての形式です

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

いくつかの定数。 $a$

したがって、が少なくとも1つのに対してこの対称性を持っていると仮定します。次に、対称性は、 $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

が中央値であることを示します。同様に、に期待がある場合、直後に続きます。したがって、私たちは通常、突き止めることができます簡単に。そうでなくても、（したがって対称性自体）はまだ一意に決定されます（存在する場合）。 $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

これを確認するには、を対称の中心にします。次に、両方の対称性を適用すると、は変換下で不変であることがわかります。場合、の分布周期有していなければならない周期的な分布の合計確率がどちらかであるため、不可能である又は無限大です。したがって、であり、が一意であることを示してます。 $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

より一般的には、 $G$ が実際の線に忠実に作用する（およびそのすべてのボレルサブセットに拡張する）グループ、分布は（に関して）「対称」であると言えます。 $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

全ての測定セットのおよび要素、 $E$ $g \in G$ $E^g$ の画像表すの作用下。 $E$ $g$

一例として、ましょう $G$ 、まだオーダーの基であっても、今その作用は、実数の逆数を取ることましょう（と、それは修正しましょう）。標準対数正規分布は、このグループに関して対称です。この例は、座標の非線形再表現が行われた反射対称のインスタンスとして理解できます。これは、実際の線の「構造」を尊重する変換に焦点を当てることを示唆しています。確率に不可欠な構造は、ボレル集合とルベーグ測度に関連している必要があります。どちらも2点間の（ユークリッド）距離で定義できます。 $2$ $0$

距離保存マップは、定義により、アイソメ図です。 実線のすべてのアイソメトリが反射によって生成されることはよく知られています（そして、少し説明することは簡単ですが）。それは「対称」を意味することを理解されたときにそこには、等長のいくつかのグループに対して対称、基は多くても1つの反射によって生成されなければならない、我々は反射を一意で決定されることを見てきた任意のそれに対して対称分布。この意味で、前述の分析は網羅的であり、「対称」分布の通常の用語を正当化します。

ちなみに、「球形」分布を考慮することにより、アイソメトリのグループの下で不変の分布の多変量の例が多数提供されます。これらはすべての回転下で不変です（固定された中心に対して）。これらは1次元の場合を一般化します。実際の線の「回転」は単なる反射です。

最後に、グループを平均化する標準的な構造が対称分布の負荷を生成する方法を与えることを指摘する価値があります。実際の線の場合、点についての反射によってを生成し、アイデンティティ要素とこの反射で構成されるようにします。ましょ可能 $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ 任意のディストリビューション。設定して分布定義する $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

すべてのボレル集合のための。これは明らかに対称的であり、分布のままであることを確認するのは簡単です（すべての確率は非負のままであり、合計確率は）。 $E$ $1$

ガンマ

グループ平均化プロセスを説明するため、対称化されたガンマ分布（を中心と）のPDFは金色で示されています。元のガンマは青で、反射は赤です。 $a=2$

— ヒューバー
ソース

1

（+1）多変量設定では、対称性の定義は一意ではないことを付け加えます。この本には、対称多変量分布の8つの可能な定義があります。

2

@Procrastinator「ユニークではない」とはどういう意味か興味があります。私の知る限り、「対称性」という名前を正当化するものはすべて、最終的にはスペースに対するグループアクションを指します。統計学者が有用であると判断したさまざまな種類のアクションを見るのは興味深いでしょう。その本は絶版であり、Webで入手できないため、その本で考慮される2つの本当に異なる種類の対称性の簡単な例を挙げていただけますか？

— whuber

あなたの直感は、これは統計的特徴に関連して、正しいです：中央対称

。球対称

に対するすべての直交行列

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$ 。残りは思い出せませんが、最近はこの本を借りようと思います。このリンクでは、それらのいくつかを見つけることができます。

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@Procrastinatorありがとう。提供する2つの例は、どちらも私が提供した一般的な定義の特別な場合です。中心対称性は2要素のアイソメトリグループを生成し、球面対称性もすべてのアイソメトリのサブグループです。リンクの「楕円対称」は、アフィン変換後の球面対称であり、対数正規の例で指摘した現象を例示しています。「角対称性」は、再び等角性のグループを形成します。「半空間対称性」[sic]は対称性ではありませんが、そこからの個別の逸脱を可能にします。それは新しいものです。

— whuber

1

答えは、対称性の意味によって異なります。物理学では、対称性の概念は基本的であり、非常に一般的になっています。対称性とは、システムを変更しないままにする操作です。確率分布の場合、これは同じ確率を返す任意の演算変換できます。 $X \to X'$ 。 $P(X) = P(X')$

最初の例の単純なケースでは、最大値に関する反射対称性を参照しています。分布が正弦波の場合、条件があります。ここで、は波長または周期です。次に、で、対称性のより一般的な定義に適合します。 $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— マイケル・ホフマン
ソース

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