多様体とは何ですか？

主成分分析、LDAなどの次元削減手法では、多くの場合、マニホールドという用語が使用されます。技術用語ではない多様体とは何ですか？ポイントが次元を削減したい球体に属し、ノイズyがあり、xとyが無相関の場合、実際のポイントxはノイズのため互いに遠く離れます。したがって、ノイズフィルタリングが必要になります。したがって、次元削減はz = x + yで実行されます。したがって、ここでxとyは異なる多様体に属しますか？$x$$y$$x$$y$$x$$z = x+y$$x$$y$

私はロボットビジョンでよく使用されるポイントクラウドデータに取り組んでいます。取得時のノイズのために点群はノイズが多く、次元を減らす前にノイズを減らす必要があります。そうしないと、誤った次元削減が行われます。それでは、ここでの多様体とは何ですか？また、ノイズは属する同じ多様体の一部ですか？$x$

技術的用語ではないが、多様体は有限の次元をもつ連続した幾何学的構造である：直線、曲線、平面、表面、球、球、円柱、トーラス、「ブロブ」…このようなもの：

これは、「曲線」（次元1）又は「表面」（次元2）、または3Dオブジェクト（寸法3）を言うために...任意の可能な有限の寸法のために数学で使用される一般的な用語である。1次元多様体は、単純に曲線（線、円...）です。2次元多様体は、単純に表面（平面、球、トーラス、円柱など）です。3次元多様体は「完全なオブジェクト」です（ボール、完全な立方体、周囲の3D空間など）。$n$

マニホールドはしばしば方程式によって記述される：点の集合のようなX 2 + Y 2 = 1は、一次元のマニホールド（円）です。$(x,y)$$x^2+y^2=1$

多様体はどこでも同じ次元を持っています。たとえば、球（次元2）に線（次元1）を追加した場合、結果の幾何学的構造は多様体ではありません。

連続する一連の点の自然な直観を記述することを目的としたメトリック空間またはトポロジ空間のより一般的な概念とは異なり、多様体は有限次元ベクトル空間：ような局所的に単純なものを意図しています。これは、幾何学的な具体的な意味を持たないことが多い抽象的な空間（無限次元空間など）を除外します。$\mathbb{R}^n$

ベクトル空間とは異なり、多様体はさまざまな形状を持つことができます。クラインのボトルや実際の射影平面のように、いくつかの多様体は簡単に視覚化できます（球、ボールなど）、いくつかは視覚化が困難です。

統計、機械学習、または一般に適用される数学では、「多様体」という言葉は「線形部分空間のように」と言われますが、曲がっていることもあります。次のような線形方程式を書くときはいつでも：（アフィン）部分空間（ここでは平面）が得られます。通常、方程式が x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 7のように非線形の場合、これは多様体（ここでは引き伸ばされた球体）です。$3x+2y-4z=1$$x^2+2y^2+3z^2=7$

$x^2+y^2=1$

$M$

$\mathbb{R}^n$$n$

「局所的に」、「等価」は座標関数c i：M → Rで表現できます。これらは一緒に「構造保存」関数を形成し、$n$$c_i: M \to \mathbb{R}$$c: M \to \mathbb{R}^n$

（2）Rのサブセットとして「構造を保存する」方法で実現できます$\mathbb{R}^N$$N \ge n$

ここで「構造」を正確にするために、トポロジの基本概念（def。）を理解する必要があります。これにより、「ローカル」動作、したがって「ローカル」の正確な概念を作成できます。「等価」と言うときは、等価なトポロジ構造（同相）を意味し、「構造保存」と言うときは、同じこと（等価なトポロジ構造を作成する）を意味します。

また、多様体で計算を行うためには、上記の2つの条件に続かない追加条件が必要であることに注意してください。基本的には、「グラフは計算を行うのに十分な振る舞い」のようなものです。これらは、実際に最もよく使用されるマニホールドです。一般的なトポロジ多様体とは異なり、微積分に加えて、三角形分割も可能です。これは、ポイントクラウドデータが関係するようなアプリケーションで非常に重要です。

すべての人が（トポロジー）多様体に対して同じ定義を使用するわけではないことに注意してください。何人かの著者は、上記の条件（1）のみを満たし、必ずしも（2）を満たしていないと定義します。ただし、（1）と（2）の両方を満たす定義の動作ははるかに優れているため、開業医にとってより有用です。（1）は（2）を暗示していると直感的に予想するかもしれませんが、実際はそうではありません。

$\mathbb{R}^n$

この文脈では、用語多様体は正確ですが、不必要に高ファルチンです。技術的には、多様体とは、十分に滑らかで連続的な空間（トポロジを持つ点の集合）です（何らかの方法で数学的に明確に定義できるように）。

元の要因のすべての可能な値のスペースを想像してください。次元削減手法の後、その空間内のすべてのポイントが達成できるわけではありません。代わりに、そのスペース内に埋め込まれたサブスペース上のポイントのみが到達可能です。その埋め込まれた部分空間は、たまたま多様体の数学的定義を満たします。PCAのような線形次元縮小手法の場合、その部分空間は単なる線形部分空間（たとえば、超平面）であり、比較的単純な多様体です。しかし、非線形の次元削減手法の場合、その部分空間はより複雑になる可能性があります（たとえば、湾曲した超曲面）。データ分析の目的では、これらが部分空間であることを理解することは、それらが多様体の定義を満たしていることを知って推論するよりもはるかに重要です。