変数間の相互作用を考慮する場合、線形回帰とANOVAが異なる値を与えるのはなぜですか？

22

回帰モデルを使用して、1つの時系列データ（複製なし）を近似しようとしました。データは次のようになります。

> xx.2
          value time treat
    1  8.788269    1     0
    2  7.964719    6     0
    3  8.204051   12     0
    4  9.041368   24     0
    5  8.181555   48     0
    6  8.041419   96     0
    7  7.992336  144     0
    8  7.948658    1     1
    9  8.090211    6     1
    10 8.031459   12     1
    11 8.118308   24     1
    12 7.699051   48     1
    13 7.537120   96     1
    14 7.268570  144     1

複製がないため、時間を連続変数として扱います。「治療」列は、それぞれ症例データと対照データを示しています。

最初に、モデル「value = time * treat」を「lm」で近似しますR。

summary(lm(value~time*treat,data=xx.2))

Call:
lm(formula = value ~ time * treat, data = xx.2)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.50627 -0.12345  0.00296  0.04124  0.63785 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  8.493476   0.156345  54.325 1.08e-13 ***
time        -0.003748   0.002277  -1.646   0.1307    
treat       -0.411271   0.221106  -1.860   0.0925 .  
time:treat  -0.001938   0.003220  -0.602   0.5606

time and treatのpvalueは重要ではありません。

anovaを使用していると、さまざまな結果が得られました。

 summary(aov(value~time*treat,data=xx.2))
            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
time         1 0.7726  0.7726   8.586 0.0150 *
treat        1 0.8852  0.8852   9.837 0.0106 *
time:treat   1 0.0326  0.0326   0.362 0.5606  
Residuals   10 0.8998  0.0900

時間と治療のpvalueが変更されました。

線形回帰では、私が正しければ、時間と治療が価値に大きな影響を与えないことを意味しますが、ANOVAでは、時間と治療が価値に大きな影響を与えます。

これら2つの方法に違いがある理由と、どちらを使用するかを誰かに説明してもらえますか？

— シャオ
ソース

3

さまざまな種類の平方和を調べることができます。具体的には、線形回帰はタイプIIIの平方和を返し、anovaは異なる種類を返します。

— 想定

3

あなたが結果を保存する場合lmと、aovあなたは確認することができ、それらは、同一のフィットを生産します。たとえば、残差をresiduals関数と比較したり、係数（$coefficients両方のケースでスロット）を調べたりします。

— whuber

18

lm（）とaov（）の適合は同じですが、レポートは異なります。他のすべての変数が存在する場合、t検定は問題の変数のわずかな影響です。Fテストはシーケンシャルです。そのため、インターセプト以外の存在下での時間、インターセプトと時間以外の存在下でのトリート、および上記すべての存在下での相互作用の重要性をテストします。

御treat走の重要性に興味があると仮定して、anova（）に両方のモデルを入れて2つのモデルを比較し、その2つのモデルを比較して、そのF検定を使用することをお勧めします。これにより、治療と相互作用が同時にテストされます。

以下を考慮してください。

> xx.2 <- as.data.frame(matrix(c(8.788269, 1, 0,
+ 7.964719, 6, 0,
+ 8.204051, 12, 0,
+ 9.041368, 24, 0,
+ 8.181555, 48, 0,
+ 8.041419, 96, 0,
+ 7.992336, 144, 0,
+ 7.948658, 1, 1,
+ 8.090211, 6, 1,
+ 8.031459, 12, 1,
+ 8.118308, 24, 1,
+ 7.699051, 48, 1,
+ 7.537120, 96, 1,
+ 7.268570, 144, 1), byrow=T, ncol=3))
> names(xx.2) <- c("value", "time", "treat")
> 
> mod1 <- lm(value~time*treat, data=xx.2)
> anova(mod1)
Analysis of Variance Table

Response: value
           Df  Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
time        1 0.77259 0.77259  8.5858 0.01504 *
treat       1 0.88520 0.88520  9.8372 0.01057 *
time:treat  1 0.03260 0.03260  0.3623 0.56064  
Residuals  10 0.89985 0.08998                  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
> mod2 <- aov(value~time*treat, data=xx.2)
> anova(mod2)
Analysis of Variance Table

Response: value
           Df  Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
time        1 0.77259 0.77259  8.5858 0.01504 *
treat       1 0.88520 0.88520  9.8372 0.01057 *
time:treat  1 0.03260 0.03260  0.3623 0.56064  
Residuals  10 0.89985 0.08998                  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
> summary(mod2)
            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
time         1 0.7726  0.7726   8.586 0.0150 *
treat        1 0.8852  0.8852   9.837 0.0106 *
time:treat   1 0.0326  0.0326   0.362 0.5606  
Residuals   10 0.8998  0.0900                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
> summary(mod1)

Call:
lm(formula = value ~ time * treat, data = xx.2)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.50627 -0.12345  0.00296  0.04124  0.63785 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  8.493476   0.156345  54.325 1.08e-13 ***
time        -0.003748   0.002277  -1.646   0.1307    
treat       -0.411271   0.221106  -1.860   0.0925 .  
time:treat  -0.001938   0.003220  -0.602   0.5606    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3 on 10 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6526,     Adjusted R-squared: 0.5484 
F-statistic: 6.262 on 3 and 10 DF,  p-value: 0.01154

— ピーター・エリス
ソース

徹底的な説明をありがとう、ANCOVA（共分散分析）を思い出させます。ANCOVAの最初のステップは、カテゴリー因子と共変量間の相互作用をテストして、両方の条件で同一の勾配があるかどうかを確認することです。ここでやったこととよく似ています。ANCOVAでは、相互作用はの最後の項であるため、t検定とF検定の相互作用に同じp値を与えaovます。

— シャオ

17

ピーター・エリスの答えは優れていますが、別の指摘があります。検定統計量（およびその -value）はかどうかの検査である。印刷のテストは、追加された変数が残差平方和を大幅に削減するかどうかです。 $t$ $p$ $\beta = 0$ $F$ anova()

ながら、順序に依存しない-test検定ではありません。したがって、変数を異なる順序で試すことをピーターが提案します。また、あるテストで重要な変数が他のテストでは重要ではない可能性があります（逆の場合も同様）。 $t$ $F$

私の感覚（および他の貢献者は私を修正することを歓迎します）は、現象を予測しようとしているとき（システムアプリケーションのように）、最も少ない予測子で分散を減らすことに最も興味があり、したがってanova()結果が必要です。あなたがの限界効果を確立しようとしている場合はにしかし、あなたが最もあなたの特定の意義に関わることになる、関心のを、他のすべての変数はちょうど別の説明を制御するあなたの査読を見つけようとします。 $X$ $y$ $\beta$

— グレックマクファーレン
ソース

2

上記の2つの答えは素晴らしいですが、もう少し追加すると思いました。ここから別の情報を収集できます。

lm()インタラクション用語で結果を報告するとき、「治療1は治療0とは異なります（ベータ！= 0、p = 0.0925）、時間はベース値1に設定されます」。一方、anova()（その結果、前述のように）任意の他の変数のみ分散の違いが問題自体を無視します。

相互作用項を削除し、2つの主効果（m1）のみを持つ単純なモデルを使用することで、これを証明できます。

> m1 = lm(value~time+treat,data=dat)
> summary(m1)

Call:
lm(formula = value ~ time + treat, data = dat)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.54627 -0.10533 -0.04574  0.11975  0.61528 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  8.539293   0.132545  64.426 1.56e-15 ***
time        -0.004717   0.001562  -3.019  0.01168 *  
treat       -0.502906   0.155626  -3.232  0.00799 ** 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.2911 on 11 degrees of freedom
Multiple R-squared:   0.64, Adjusted R-squared:  0.5746 
F-statistic: 9.778 on 2 and 11 DF,  p-value: 0.003627

> anova(m1)
Analysis of Variance Table

Response: value
          Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
time       1 0.77259 0.77259  9.1142 0.011677 * 
treat      1 0.88520 0.88520 10.4426 0.007994 **
Residuals 11 0.93245 0.08477                    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

この場合、報告されたp値は同じであることがわかります。これは、この単純なモデルの場合、

— コンスタンチノ
ソース

残念ながら、この答えは未完成に見えます。リンクと、効果が異なるコーディングスキームによるものであることを示すために、まだ+1です。

— アメーバは、モニカーを復活させる

2

また、それsummary(lm)を追加する必要anova(lm)があり、相互作用項がない場合は常に同じ結果が得られるとは限りません。これらのデータtimeでtreatは直交しているため、タイプI（シーケンシャル）およびIII（マージナル）の平方和が同じ結果をもたらします。

— アメーバは、モニカの復活を

2

違いは、カスケードモデルの型のペアごとの比較に関係しています。
また、aov（）関数には、自由度の選択方法に問題があります。2つの概念が混在しているようです。1）段階的比較からの平方和、2）全体像からの自由度。

問題の再現

> data <- list(value = c (8.788269,7.964719,8.204051,9.041368,8.181555,8.0414149,7.992336,7.948658,8.090211,8.031459,8.118308,7.699051,7.537120,7.268570), time = c(1,6,12,24,48,96,144,1,6,12,24,48,96,144), treat = c(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1) )
> summary( lm(value ~ treat*time, data=data) )
> summary( aov(value ~ 1 + treat + time + I(treat*time),data=data) )

説明で使用されるいくつかのモデル

#all linear models used in the explanation below
> model_0                      <- lm(value ~ 1, data)
> model_time                   <- lm(value ~ 1 + time, data)
> model_treat                  <- lm(value ~ 1 + treat, data)
> model_interaction            <- lm(value ~ 1 + I(treat*time), data)
> model_treat_time             <- lm(value ~ 1 + treat + time, data)
> model_treat_interaction      <- lm(value ~ 1 + treat + I(treat*time), data)
> model_time_interaction       <- lm(value ~ 1 + time + I(treat*time), data)
> model_treat_time_interaction <- lm(value ~ 1 + time + treat + I(treat*time), data)

LM T_TESTの機能とF-TESTに関連する方法

# the t-test with the estimator and it's variance, mean square error, is
# related to the F test of pairwise comparison of models by dropping 1
# model parameter

> anova(model_treat_time_interaction, model_time_interaction)

Analysis of Variance Table

Model 1: value ~ 1 + time + treat + I(treat * time)
Model 2: value ~ 1 + time + I(treat * time)
  Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F  Pr(>F)  
1     10 0.89985                              
2     11 1.21118 -1  -0.31133 3.4598 0.09251 .
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> anova(model_treat_time_interaction, model_treat_interaction)

Analysis of Variance Table

Model 1: value ~ 1 + time + treat + I(treat * time)
Model 2: value ~ 1 + treat + I(treat * time)
  Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     10 0.89985                           
2     11 1.14374 -1   -0.2439 2.7104 0.1307

> anova(model_treat_time_interaction, model_treat_time)

Analysis of Variance Table

Model 1: value ~ 1 + time + treat + I(treat * time)
Model 2: value ~ 1 + treat + time
  Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     10 0.89985                           
2     11 0.93245 -1 -0.032599 0.3623 0.5606

> # which is the same as
> drop1(model_treat_time_interaction, scope  = ~time+treat+I(treat*time), test="F")

Single term deletions

Model:
value ~ 1 + time + treat + I(treat * time)
                Df Sum of Sq     RSS     AIC F value  Pr(>F)  
<none>                       0.89985 -30.424                  
time             1  0.243896 1.14374 -29.067  2.7104 0.13072  
treat            1  0.311333 1.21118 -28.264  3.4598 0.09251 .
I(treat * time)  1  0.032599 0.93245 -31.926  0.3623 0.56064  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

AOVがどのように機能し、FテストでDFを選択するか

> #the aov function makes stepwise additions/drops
> 
> #first the time, then treat, then the interaction
> anova(model_0, model_time)

Analysis of Variance Table

Model 1: value ~ 1
Model 2: value ~ 1 + time
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F  Pr(>F)  
1     13 2.5902                              
2     12 1.8176  1    0.7726 5.1006 0.04333 *
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> anova(model_time, model_treat_time)

Analysis of Variance Table

Model 1: value ~ 1 + time
Model 2: value ~ 1 + treat + time
  Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F   Pr(>F)   
1     12 1.81764                                
2     11 0.93245  1    0.8852 10.443 0.007994 **
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> anova(model_treat_time, model_treat_time_interaction)

Analysis of Variance Table

Model 1: value ~ 1 + treat + time
Model 2: value ~ 1 + time + treat + I(treat * time)
  Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     11 0.93245                           
2     10 0.89985  1  0.032599 0.3623 0.5606

> 
> # note that the sum of squares for within model variation is the same
> # but the F values and p-values are not the same because the aov 
> # function somehow chooses to use the degrees of freedom in the 
> # complete model in all stepwise changes
>

重要な注意点

> # Although the p and F values do not exactly match, it is this effect
> # of order and selection of cascading or not in model comparisons. 
> # An important note to make is that the comparisons are made by 
> # stepwise additions and changing the order of variables has an 
> # influence on the outcome!
>
> # Additional note changing the order of 'treat' and 'time' has no 
> # effect because they are not correlated

> summary( aov(value ~ 1 + treat + time +I(treat*time), data=data) )

        Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
treat            1 0.8852  0.8852   9.837 0.0106 *
time             1 0.7726  0.7726   8.586 0.0150 *
I(treat * time)  1 0.0326  0.0326   0.362 0.5606  
Residuals       10 0.8998  0.0900                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> summary( aov(value ~ 1 + I(treat*time) + treat + time, data=data) )

                Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
I(treat * time)  1 1.3144  1.3144  14.606 0.00336 **
treat            1 0.1321  0.1321   1.469 0.25343   
time             1 0.2439  0.2439   2.710 0.13072   
Residuals       10 0.8998  0.0900                   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> # This is an often forgotten quirck 
> # best is to use manual comparisons such that you know
> # and understand your hypotheses
> # (which is often forgotten in the click and
> #     point anova modelling tools)
> #
> # anova(model1, model2) 
> #     or use 
> # stepAIC from the MASS library

— セクストゥス・エンピリカス
ソース