回答:
MOMとGMMはどちらも、統計モデルのパラメーターを推定するための非常に一般的な方法です。GMMは、その名前が示すとおり、MOMの一般化です。Lars Peter Hansenによって開発され、最初にEconometricaで公開されました[1]。主題に関する多数の教科書がありますので（例えば[2]）ここで非技術的な答えが欲しいと思います。
伝統的または古典的なモーメント推定法
MOM推定器は、一貫しているが非効率な推定器です。k個の要素を持つパラメーターベクトルthetaでインデックス付けされた確率分布によって生成されたデータyのベクトルを想定します。モーメント法では、シータはyのk個のサンプルモーメントを計算し、それらを仮定された確率分布から導出された母集団モーメントに等しく設定し、シータを解くことによって推定されます。たとえば、muの母集団モーメントはyの期待値であり、muの標本モーメントはyの標本平均です。シータのk要素ごとにこれを繰り返します。サンプルモーメントは一般に人口モーメントの一貫した推定値であるため、シータハットはシータに対して一貫しています。
モーメントの一般化された方法
上記の例では、未知のパラメーターと同じ数のモーメント条件があったため、k未知数のk方程式を解いてパラメーター推定値を取得するだけでした。ハンセンは尋ねました：計量経済学モデルで通常起こるように、パラメータよりも多くのモーメント条件があるとき、何が起こりますか？どうすればそれらを最適に組み合わせることができますか？それがGMM推定器の目的です。GMMでは、モーメントの分散をメトリックとして使用して、母集団モーメントとサンプルモーメントの差の平方和を最小化することにより、パラメーターベクトルを推定します。これは、これらのモーメント条件を使用する推定器のクラスの最小分散推定器です。
[1] Hansen、LP（1982）：Generalized Method of Moments Estimators、Econometrica、50、1029-1054の大きなサンプル特性
[2] AR、ホール（2005）。モーメントの一般化された方法（計量経済学の高度なテキスト）。オックスフォード大学出版局