論理的に（確率的に）独立している2つの因果関係に依存するイベントの例はありますか？

2つのイベント $A,B$ 独立しているとき $P(A \cap B ) = P(A)P(B)$ 私はこの定義を掘り下げて、現実世界での自立という私たちの直感的な考えとそれを調和させようとしています。本当の自立の根拠なしに、この方程式は偶然に達成できると思います。

私は、確率的自立が因果的自立を意味する必要はないことを示すために思考実験を構築しようとしていました。たとえば、相互にばらばらの完全なイベントを考えてみます。

$A$ ：雨が降っていない
$B$ ：草は緑ではない
$C$ ：雨が降っていて草は緑

私は確率を割り当てようとしていました： $P(A) := p, P(B) := q, P(C) = 1 - p - q$ 作るような気の利いた方法で $A^c$ （雨が降っています）そして $B^c$ （草は緑です）独立しています。次のようになります。

P (A^{c} \cap B^{c}) = P (C) = 1 - p - q

$P(A^c \cap B^c ) = P(C) = 1-p-q$ そして、私たちの望ましい独立性から：

P (A^{c} \cap B^{c}) = P (A^{c}) P (B^{c}) = (1 - P (A)) (1 - P (B)) = (1 - p) (1 - q)

$P(A^c \cap B^c ) = P(A^c)P(B^c) = (1-P(A))(1-P(B)) = (1 - p)(1 - q)$ つまり：

1 - p - q = (1 - p) (1 - q)

$1-p-q = (1 - p)(1 - q)$ ただし、これは次の場合にのみ発生します

p = 0

$p=0$ または

q = 0

$q=0$ その場合、イベントに因果関係があると話す理由はまったくありません。

私がデモンストレーションしようとしていたことの直感的でスピーディーな例はありますか？私はいくつかの変数について考えていました $A$ 因果関係がある $B$ だけでなく、いくつかの3番目の変数についても $C$ これはまったく逆の効果をもたらします $B$ 。これは $A$ そして $B$ 独立していますが、適切なツールを見つけることができないようです。

probability independence philosophical

— マーティン・ドロズディク
ソース

あなたの計算は間違っています-AとBは互いにばらばらではありません！

— Zahava Kor 2017

@ZahavaKorコメントありがとうございます。雨が降った時だけ草が緑だとは言っていません。とにかく、全体の例は正しくないので、この質問をします。これまでの私の思考過程を共有したかっただけです。良い例はありますか？

— Martin Drozdik 2017年

確率的独立性の定義は、条件付き確率項でP（B / A）= P（B）として表すことができます。つまり、Aが発生したことを知っていても、Bが発生する確率は変わりません。どのように反例を見つけると思いますか？これは非常にありそうにありません（しゃれが意図されています）。

— Zahava Kor 2017

「因果的影響」が何を意味するのか明確ではありません。それは（私の知る限り）確率論的な概念ではないため、理論にどのように当てはめるかは不明です。しかし、明らかに機能依存は確率依存を意味します。

X

$X$ 確率変数であり、

Y = f (X)

$Y = f(X)$ 、その後

X

$X$ そして

Y

$Y$ 独立しているのは、

f

$f$ 定数関数です。因果依存の有意義な定義からも同じことを期待します。

— Olivier

@ZahavaKor yupps、私はあなたが「互いにばらばらではない」という意味に気づきました。すみません、私の間違いです。

— Martin Drozdik、2018

回答:

2つの入力を持つ電子回路（論理ゲート）である排他的論理和（XOR）ゲートを考えます。 $X$ そして $Y$ そして出力 $Z$ どこ $X,Y,Z$ 離散セットの値を取る $\{0, 1\}$ 。これらをブール変数（または、必要に応じてBernouiiiランダム変数）と考えてください。 $Z$ される因果関係に関連します $X$ そして $Y$ 排他的論理和演算により：

Z = X \oplus Y = X \bar{Y} \lor \bar{X} Y

$Z = X\oplus Y = X\bar{Y} \,\vee\, \bar{X}Y$ あなたがブールダーまたは

Z = X (1 - Y) + (1 - X) Y = X + Y - 2 X Y

$Z = X(1-Y)+(1-X)Y= X + Y -2XY$ あなたがベルヌーリストならそれがあるとしても、

X

$X$ そして

Y

$Y$ ある独立したことを意味します（

P (X = a, Y = b) = P (X = a) P (Y = b)

$P(X=a,Y=b) = P(X=a)P(Y=b)$ すべてのために

a, b

$a,b$ に

{0, 1}

$\{0, 1\}$ 。そして、

\begin{aligned} P (Z = 1) & = P (X \neq Y) \\ = P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) \\ = P (X = 1) P (Y = 0) + P (X = 0) P (Y = 1) . \end{aligned}

$\begin{align}P(Z=1) &= P(X\neq Y)\\ &=P(X=1, Y=0) + P(X=0, Y=1)\\ &= P(X=1)P(Y=0) + P(X=0)P(Y=1).\end{align}$ これまでのところすべてが大丈夫ですか？今それを仮定します

P (X = 1) = P (Y = 1) = \frac{1}{2}

$P(X=1) = P(Y=1)= \frac 12$ 。次に、それを確認するのは簡単です

P (Z = 1) = \frac{1}{2}

$P(Z=1) = \frac 12$ また。さて、

Z

$Z$ そして

X

$X$ 非常に確かに因果的に関連している：XORゲートの出力がないその入力（S）に依存しています。しかし、イベント

{Z = 1, X = 1}

$\{Z=1,X=1\}$ イベントが発生した場合にのみ発生します

{X = 1, Y = 0}

$\{X=1, Y=0\}$ 発生するので

P (Z = 1, X = 1) = P (X = 1, Y = 0) = \frac{1}{4} = P (Z = 1) P (X = 1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}

$P(Z=1, X=1) = P(X=1,Y=0) = \frac 14 = P(Z=1)P(X=1) = \frac 12\times \frac 12$ ことを示す因果関係のイベント

{Z = 1}

$\{Z=1\}$ そして

{X = 1}

$\{X=1\}$ 実際、確率的に独立しています。同様に、

{Z = 1}

$\{Z=1\}$ そして

{Y = 1}

$\{Y=1\}$ 独立した、実際には、3つのイベント

{X = 1}

$\{X=1\}$ 、

{Y = 1}

$\{Y=1\}$ 、および

{Z = 1}

$\{Z=1\}$ あるペアごとに独立してではなく、、相互から独立しました

P (X = 1, Y = 1, Z = 1) = 0 \neq P (X = 1) P (Y = 1) P (Z = 1) = \frac{1}{8} .

$P(X=1, Y=1, Z=1) = 0 \neq P(X=1)P(Y=1)P(Z=1) = \frac 18.$

したがって、因果依存は確率依存に反映される必要はありません。因果関係に依存するイベントを確率論的に独立させることができます。また、この確率的独立性は、純粋に確率測度の特性であると言います。 $P(X=1)$ または $P(Y=1)$ されるように任意の番号で $(0,1)$ 他のより $\frac 12$ 私がこっそりと上記を選択した場合、確率論的独立性はなくなり、因果依存イベントも確率論的依存性になります。

これが現実の世界ではほとんど発生しない奇妙な例であると思わないように、統計理論と実践のゴールドスタンダードを検討してください。3つの標準正規確率変数 $X,Y,Z$ 。ここで、それらの結合密度が $f_{X,Y,Z}(x,y,z)$ ではない $\phi(x)\phi(y)\phi(z)$ どこ $\phi(\cdot)$ は標準の正規密度です（次の場合と同様です） $X,Y,Z$ た相互に独立した）標準正規確率変数ではなく、

\begin{matrix} (1) & f_{X, Y, Z} (x, y, z) = {\begin{cases} 2 ϕ (x) ϕ (y) ϕ (z) & if x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, \\ or if x < 0, y < 0, z \geq 0, \\ or if x < 0, y \geq 0, z < 0, \\ or if x \geq 0, y < 0, z < 0, \\ 0 & otherwise. \end{cases} \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(x,y,z) = \begin{cases} 2\phi(x)\phi(y)\phi(z) & ~~~~\text{if}~ x \geq 0, y\geq 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y < 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y\geq 0, z < 0,\\ & \text{or if}~ x \geq 0, y< 0, z < 0,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}\tag{1}$ ご了承ください

X

$X$ 、

Y

$Y$ 、および

Z

$Z$ は3つの合同正規確率変数のセットではありません（つまり、それらは多変量正規分布を持ちません）が、これらのいずれか2つが実際に独立した標準正規確率変数のペアであることを示すことができます。検証の詳細については、この回答の後半をご覧ください。

— ディリップ・サルワテ
ソース

ありがとうございました！これは素晴らしい答えであり、まさに私が探していたものです。驚くばかり！

— マーティンドロズディク

@MartinDrozdikしかし、あなたがすでに受け入れているという答えは、病理学や「忠実さの仮定」の欠如などの例を除外しています。上記の私の答えで書いたものの何が「不誠実」であるか正確にはわかりません（パラメータを持つベルヌーイ確率変数を選択する

\frac{1}{2}

$\frac 12$ 先入観のない場合のデフォルトは不誠実ですか？）、しかし私は哲学者ではありません。

— Dilip Sarwate、

照明の例。間の独立

X

$X$ そして

Z

$Z$ の価値に関係なく持続する

P (X = 1)

$P(X = 1)$ 、提供

P (Y = 1) = \frac{1}{2}

$P(Y = 1) = \frac{1}{2}$ 。独立も成り立つ

P (X = 1) = 1

$P(X = 1) = 1$ そして

P (X = 1) = 0

$P(X = 1) = 0$ 、かかわらず

P (Y = 1)

$P(Y = 1)$ 。ただし、この例の独立性は、選択された原因が十分でないことに依存しています。しかし、十分な原因であっても、その影響から確率的に独立している場合があります。

— CarbonFlambe-モニカを

因果モデリングでは、このようなことは、複数の因果効果があり、確率的意味でそれらが互いに完全に相殺される場合に可能です。したがって、 $\mathcal{A}$ 原因 $\mathcal{B}$ 、しかしそれはまた $\mathcal{C}$ 、 $\mathcal{D}$ そして $\mathcal{E}$ 、およびこれらの後者のイベントは、 $\mathcal{B}$ 、からの直接的な因果効果を正確に打ち消す方法で $\mathcal{A}$ 。

確率的因果律のモデルでは、この種の病理学的状況は通常、、確率的関係が基礎となる因果構造に「忠実」であり、相殺されないことを前提と忠実性の仮定ます。確率的因果関係と忠実度の仮定に関する基本的な入門書は、スタンフォード哲学百科事典にあります。

— ベン-モニカの復活
ソース

因果関係は真実に関係するため、例は自由に作成できますが、確率は論理に関係します。

それが事実だとしましょう $A \in \mathcal{A}$ そして $B \in \mathcal{B}$ そして $A = x$ 原因 $B = y$ 。与えられた情報を検討してください $\mathcal{I} \equiv \unicode{8220}\text{$A \in \mathcal{A}$ and $B \in \mathcal{B}$}\unicode{8221}$ 。その後

\begin{aligned} p r o b （ あ = a 、 B = b | 私 ） & = p r o b （ あ = a | 私 ） p r o b （ B = b | 私 ） \\ = \frac{1}{| あ | | B |} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{prob}(A = a, B = b | \mathcal{I}) &= \mathrm{prob}(A = a | \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(B = b | \mathcal{I}) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{A}||\mathcal{B}|} \end{align}$

独立性は、次と一致する最大エントロピー分布であるため $\mathcal{I}$ 。

与えられたイベントは論理的に独立しています $\mathcal{I}$ 因果的に依存しているにもかかわらず。

特定の仮定がない場合に論理的に独立しているイベントについて話すことは意味がありません。論理には仮定が必要です。一方、原因は私たちの仮定とは無関係に存在します。

もちろん、因果関係についての考えはそれ自体が論理的であり、原因自体とはまったく異なります。したがって、イベントに関する因果関係のアイデアとそれらのイベントに関する論理的なアイデアを比較しようとすると、実際にはそれらはまったく同じものです。たとえば、 $\mathcal{I} \equiv \unicode{8220} \text{$A \in \mathcal{A}$ and $B \in \mathcal{B}$ and $A = x$ causes $B = y$}\unicode{8221}$ 、その後

\begin{aligned} p r o b (A = a, B = b | I) & = p r o b (B = b | A = a, I) p r o b (A = a | I) \\ = \frac{1}{| A |} {\begin{cases} δ_{b y} & A = x \\ \frac{1}{| B |} & A \neq x \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{prob}(A = a, B = b | \mathcal{I}) &= \mathrm{prob}(B = b | A = a, \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(A = a | \mathcal{I}) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{A}|} \begin{cases} \delta_{b y} & A = x \\ \frac{1}{|\mathcal{B}|} & A \neq x \end{cases} \end{align}$

するとロジックは因果関係のアイデアを表現します。

— CarbonFlambe-モニカの回復
ソース