2D空間上の点の均一分布に関する関係の確率

ノードのセットが2Dサーフェス散在していると仮定して、任意のについて、内のノード数がパラメーター付きのポアソン分布に従うようにします。、ここでショーサブセットの面積と点の強度（単位面積当たりの点の平均数）です。 $\mathcal{S}$ $\mathcal{A} \subset \mathcal{S}$ $\mathcal{A}$ $|\mathcal{A}| \rho$ $|\mathcal{A}|$ $\mathcal{A}$ $\rho$

半径特定の円の内側の点のみに関心があります。円内のノード数は、パラメーター持つポアソン変数です。円の内側から2つのノードをランダムに選択します。ましょうと円の中央から第1及び第2のノードの距離を示しています。 $r$ $\rho \pi r^2$ $d_1$ $d_2$

2D分布

イベントの確率を計算するにはどうすればよいですか。

{d_{1}}^{2} < \frac{{d_{2}}^{2}}{A (1 + B {d_{2}}^{2})}

${d_1}^2 < \frac{{d_2}^2}{A(1+B{d_2}^2)}$ ここで、とは定数です。

A

$A$

B

$B$

編集：

およびと想定し。 $A > 0$ $B > 0$
プロセスによって生成されるポイントではなく、プロセス自体に興味があります（whuberが彼の回答で説明したように）。
どのようにした場合についてと置き換えられとのための（私は推測する、以来、この修正問題およびは均一に分散されなくなりました）。 ${d_1}^2$ ${d_2}^2$ ${d_1}^\alpha$ ${d_2}^\alpha$ $\alpha > 2$ ${d_1}^\alpha$ ${d_2}^\alpha$

probability

— ヘリウム
ソース

問題の定式化を考えると、固定されている場合は点の数、たとえばように見えます。ましょ円内の点の数です。次に、ように、その不等式を満たすペアの数を確認できます。したがって、2つの点をランダムに選択した場合、それらが不等式を満たす確率はです。が不等式を満たす場合、も不等式を満たすことを検討していることに注意してください。

N

$N$

M < N

$M<N$

k

$k$

k / (\binom{M}{2})

$k/\binom{M}{2}$

(p_{1}, p_{2})

$(p_1,p_2)$

(p_{2}, p_{1})

$(p_2,p_1)$

「均一」な分布をどのように定義していますか？

R^{2}

${\mathbb R}^2$

次に、それは別の問題だと思いますが、空間ポアソンプロセスが明確になりました。あなたの新しい興味に沿って問題を定式化しようとすることができます。

ポアソンポイントプロセスとの違いは何ですか？

— 西安

@西安：（+1）説明からわかる限り、そうではありません！:)

— カーディナル

回答:

少なくとも2つの解釈があります。1つはこのプロセスによって生成される実際のポイントに関するもので、もう1つはプロセス自体に関するものです。

ポアソンプロセスの実現が与えられ、その実現からポイントのペアが選択される場合、すべての距離を他のすべての距離と系統的に比較する以外に何もする必要はありません（ポイント上の二重ループ）。

それ以外の場合、手順が（i）プロセスの実現を作成し、次に（ii）ペアのポイントをランダムに選択することで構成される場合、仮定は、2つのポイントが円から均一に独立して選択されることを意味します。この状況の計算は、一度だけ実行できます。

二乗距離およびが均一に分布していることに注意してください。 $r_1 = d_1^2$ $r_2 = d_2^2$

p (a, b) = Pr (d_{1}^{2} < \frac{d_{2}^{2}}{a (1 + b d_{2}^{2})}) = \int_{0}^{1} d r_{2} \int_{0}^{max (0, min (1, r_{2} / (a (1 + b r_{2}))))} d r_{1} .

$p(a,b) = \Pr\left(d_1^2 \lt \frac{d_2^2}{a(1 + b d_2^2)}\right) = \int_0^1 d r_2 \int_0^{\max(0, \min(1, r_2 / (a(1 + b r_2))))} d r_1.$

とケースに分割することによって処理することができます。といくつかの特別な値を処理する必要があります。積分は、双曲線の線と葉によって一般的に境界が定められた領域上の正方形のウィンドウ（垂直軸がで水平軸が）であるため、結果は単純ですが面倒です。と有理式と、いくつかの逆双曲線関数（つまり、自然対数）を含む必要があります。私が持っていた、Mathematicaはそれを書きます： $\max$ $\min$ $a$ $b$ $1/(ab)$ $-1/b$ $a$ $b$

\begin{array}{ll} \frac{b + 1}{b} & (- 1 \leq a < 0 \land \frac{1}{a} - b \leq 1 \land b < - 1) \\ \lor (a < - 1 \land \frac{1}{a} - b < 1 \land b < - 1) \\ - \frac{1}{b (a b - 1)} & \frac{1}{a} - b = 1 \land a < - 1 \\ \frac{a^{2} b + 2 a b + a - 2}{2 (a b - 1)} & b = 0 \land a > 0 \land \frac{1}{a} - b > 1 \\ \frac{b - \log (b + 1)}{a b^{2}} & a > 0 \land \frac{1}{a} - b \leq 1 \land b > - 1 \\ \frac{a b^{2} + a b - a b \log (b + 1) - b + \log (b + 1)}{a b^{2} (a b - 1)} & a > 0 \land \frac{1}{a} - b \leq 1 \land b \leq - 1 \\ \frac{\log (1 - a b)}{a b^{2}} & a > 0 \land \frac{1}{a} - b > 1 \land b \leq - 1 \\ \frac{a b^{2} + a b + \log (1 - a b)}{a b^{2}} & (- 1 < b < 0 \land a > 0 \land \frac{1}{a} - b > 1) \\ \lor (b > 0 \land a > 0 \land \frac{1}{a} - b > 1) \\ \frac{b - \log ((- b - 1) (a b - 1))}{a b^{2}} & a < 0 \land \frac{1}{a} - b > 1 \end{array}

$\begin{array}{ll} \frac{b+1}{b} & \left(-1\leq a<0\land \frac{1}{a}-b\leq 1\land b<-1\right)\\ &\lor \left(a<-1\land \frac{1}{a}-b<1\land b<-1\right) \\ -\frac{1}{b (a b-1)} & \frac{1}{a}-b=1\land a<-1 \\ \frac{a^2 b+2 a b+a-2}{2 (a b-1)} & b=0\land a>0\land \frac{1}{a}-b>1 \\ \frac{b-\log (b+1)}{a b^2} & a>0\land \frac{1}{a}-b\leq 1\land b>-1 \\ \frac{a b^2+a b-a b \log (b+1)-b+\log (b+1)}{a b^2 (a b-1)} & a>0\land \frac{1}{a}-b\leq 1\land b\leq -1 \\ \frac{\log (1-a b)}{a b^2} & a>0\land \frac{1}{a}-b>1\land b\leq -1 \\ \frac{a b^2+a b+\log (1-a b)}{a b^2} & \left(-1<b<0\land a>0\land \frac{1}{a}-b>1\right) \\ & \lor \left(b>0\land a>0\land \frac{1}{a}-b>1\right) \\ \frac{b-\log ((-b-1) (a b-1))}{a b^2} & a<0\land \frac{1}{a}-b>1 \end{array}$

およびの範囲にわたる数値積分とシミュレーションにより、これらの結果が確認されます。 $-2 \le a \le 2$ $-5 \le b \le 5$

編集する

変更された質問は、を置き換えるように求め、と両方が正でと想定ます。置換を行うと、場合、積分の領域は同じままで、被積分関数はではなくになります。と書くと、 $d_i^2$ $d_i^\alpha$ $a$ $b$ $r_i = d_i^\alpha$ $(2/\alpha)^2(r_1 r_2)^{2/\alpha-1}$ $1$ $\theta = \alpha/2$

\frac{1}{2} a^{- 1 / θ}_{2} F_{1} (\frac{1}{θ}, \frac{2}{θ}; \frac{θ + 2}{θ}; - b)

$\frac{1}{2} a^{-1/\theta } \, _2F_1\left(\frac{1}{\theta },\frac{2}{\theta };\frac{\theta +2}{\theta };-b\right)$

又は、そうでなければ結果は $(a>0\land a<1\land a b+a\geq 1)$ $a\geq 1$

- a^{\frac{1}{θ}} {(\frac{1}{1 - a b})}^{\frac{1}{θ}} + \frac{1}{2} a^{\frac{1}{θ}} (1 - a b)^{- 2 / θ}_{2} F_{1} (\frac{1}{θ}, \frac{2}{θ}; \frac{θ + 2}{θ}; 1 + \frac{1}{a b - 1}) + 1.

$-a^{\frac{1}{\theta }} \left(\frac{1}{1-a b}\right)^{\frac{1}{\theta }}+\frac{1}{2} a^{\frac{1}{\theta }} (1-a b)^{-2/\theta } \, _2F_1\left(\frac{1}{\theta },\frac{2}{\theta };\frac{\theta +2}{\theta };1+\frac{1}{a b-1}\right)+1.$

ここで、は超幾何関数です。の元のケースは対応し、これらの式は前の8つのケースの4番目と7番目に減少します。私はせ、シミュレーションでこの結果をチェックしたの範囲をを通じてとの実質的な範囲カバーと。 $_2F_1$ $\alpha=2$ $\theta=1$ $\theta$ $1$ $3$ $a$ $b$

— whuber
ソース

たとえば、最初の条件がかつ場合、2番目の条件を意味するとは思わないため、「Provided ...」という文の表現を明確にできるかもしれません。（おそらく私はあなたが何を意味していたのかを誤解しているだけかもしれません。）

B

$B$

A > 0

$A>0$

B < 0

$B < 0$

— 枢機卿

そうです、@ cardinal：もちろん、不等式は負の値に対して反転します。これにより、答えをその補数で置き換えることができます。これは、十分に簡単です。ただし、あなたのような親切なレビュアーによってさらにエラーが指摘されるまでは、変更を加えません:-)。

A B

$AB$

— whuber

私にとって意味のないもう1つのことは、最終的な答えはに対して不変であることです。取るだけです。（タイプミス？）:)

B

$B$

B \to \infty

$B \to \infty$

— 枢機卿

また、得られる答えはすべてで選択されたノルムに対して完全に不変である必要があります。つまり、確率に影響を与えることなく、ノルムによって引き起こされた円盤で円を置き換えることができます。これにより、別の健全性チェックが提供されます。

R^{2}

$\mathbb R^2$

— 枢機卿

ありがとうwhuber。今、私は問題が他の人にはそれほど不明瞭に見える理由を理解しています。実際、私はあなたが説明した2番目のケース「プロセス自体」を探しています。とは両方とも正です。

A

$A$

B

$B$

— ヘリウム

この問題は、部品に分解し、ポアソンプロセスのプロパティを使用することで解決できます。

境界付きサブセットに強度ポアソン点プロセスを生成する方法を思い出すのに役立ちます。まず、レートポアソン確率変数を生成しますここでルベーグ測度を示し、次にこれらの点を内側にランダムに均一に散布します。 $\rho$ $\newcommand{\A}{\mathcal A}$ $\mathbb R^2$ $N$ $\rho |\mathcal A|$ $|\cdot|$ $N$ $\A$

これにより、である限り、ランダムに2つのポイント（置換なし）を選択すると、これらの2つのポイントは独立し、に均一に分散されることがわかります。場合、何かをする必要があり、1つの自然な選択は、望ましい確率をゼロとして定義することです。これは確率発生することに注意してくださいこれは、ポアソンプロセスの強度に依存する問題の唯一の部分です。 $N \geq 2$ $\A$ $N < 2$

P (N < 2) = (1 + ρ | A |) e^{- ρ | A |} .

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(N < 2) = (1+\rho|\A|) e^{-\rho|\A|} \>.$

条件とする確率 $\{N \geq 2\}$

確率興味がありここで、、およびです。ここで、とは、れる2つの均一に分布した点の半径です。

p (A, B, r) := P (d_{1}^{2} \leq \frac{d_{2}^{2}}{A (1 + B d_{2}^{2})}),

$p(A,B,r) := \Pr\Big( d_1^2 \leq \frac{d_2^2}{A(1+B d_2^2)}\Big) \>,$

A > 0

$A > 0$

B > 0

$B > 0$

A = {x : ‖ x ‖_{2} \leq r}

$\A = \{x : \|x\|_2 \leq r\}$

d_{1}

$d_1$

d_{2}

$d_2$

A

$\A$

半径の円盤にランダムに分布する点の場合、原点からの距離の分布は、はであると同じ分布。これから、関心の確率をことができます $r$ $\Pr(D \leq d) = (d/r)^2$ $D^2$ $r^2 U$ $U \sim \mathcal U(0,1)$

p (A, B, r) = P (U_{1} \leq \frac{U_{2}}{A (1 + B r^{2} U_{2})}) = \iint 1_{(0 < x < 1)} 1_{(0 < y < 1)} 1_{(0 < y < x / (A + A B r^{2} x))} d y d x .

$p(A,B,r) = \Pr\Big( U_1 \leq \frac{U_2}{A(1+B r^2 U_2)}\Big) = \iint 1_{(0 < x < 1)} 1_{(0 < y < 1)} 1_{(0 < y < x/(A+ABr^2 x))} \,\mathrm dy \, \mathrm dx \>.$

この積分は2つのケースに分かれます。これを計算するには、一般積分

\int_{0}^{t} \frac{x}{a + b x} d x = \frac{1}{b} (t - \frac{a}{b} \log (1 + b t / a)) .

$\int_0^t \frac{x}{a+bx} \,\mathrm d x = \frac{1}{b} (t - \frac{a}{b} \log(1+bt/a)) \>.$

ケース1：。 $A(1+B r^2) \geq 1$

ここでは、でため、 $u \leq A(1+B r^2 u)$ $u \in [0,1]$

p (A, B, r) = \frac{1}{A B r^{2}} (1 - \frac{\log (1 + B r^{2})}{B r^{2}}) .

$p(A,B,r) = \frac{1}{ABr^2}\Big(1 - \frac{\log(1+B r^2)}{B r^2}\Big) \>.$

ケース2：。 $A(1+B r^2) < 1$

ここで、の積分は、、2つの部分に分割されます。したがって、一般的な積分を使用して積分し、次に2番目のピースの追加領域をます。したがって、 $p(A,B,r)$ $u \geq A(1+B r^2 u)$ $[A/(1-ABr^2),1]$ $t = A/(1-A B r^2)$ $1-A/(1-ABr^2)$

\begin{aligned} p (A, B, r) & = \frac{1}{B r^{2}} (\frac{1}{1 - A B r^{2}} + \frac{\log (1 - A B r^{2})}{A B r^{2}}) + 1 - \frac{A}{1 - A B r^{2}} \\ = 1 + \frac{1}{B r^{2}} (1 + \frac{\log (1 - A B r^{2})}{A B r^{2}}) . \end{aligned}

$\begin{align} p(A,B,r) &= \frac{1}{B r^2} \Big(\frac{1}{1-A B r^2} + \frac{\log(1-AB r^2)}{A B r^2}\Big) + 1 - \frac{A}{1 - A B r^2} \\ &= 1 + \frac{1}{B r^2} \Big(1 + \frac{\log(1-AB r^2)}{A B r^2}\Big) \>. \end{align}$

多くの場合、写真が役立ちます。これは、各ケースの統合領域の例を示すものです。は軸上にあり、は軸上にあることに注意してください。 $U_1$ $y$ $U_2$ $x$

各ケースの例

もちろん、最終的な関心の確率はです。 $(1 - (1+\rho\pi r^2) e^{-\rho\pi r^2} ) p(A,B,r)$

簡単な一般化

結果を簡単に一般化して、異なる形状のボールを使用することができます。実際には、のために任意の上の任意の規範、条件付き確率ある不変の長い私たちが代わりに円の規範によって誘導されたボールを使用するように！ $\mathbb R^2$ $p(A,B,r)$

これは、どの基準を選択しても、二乗された半径が均一に分布するためです。理由を確認するために、をノルムとし、ノルムの下の半径のボール。場合に限り、注意してください。スケールアップまたはダウンユニットボールのある線形変換とルベーグ測度、線形変換の尺度約標準事実によってのされ以来 $\delta(\cdot)$ $\mathbb R^2$ $B_\delta(r) = \{x: \delta(x) \leq r\}$ $r$ $\delta$ $rx \in B_\delta(r)$ $x \in B_\delta(1)$ $T$ $B_\delta(1)$

| B_{δ} (r) | = | T B_{δ} (1) | = | det (T) | | B_{δ (1)} | = r^{2} | B_{δ} (1) |,

$|B_\delta(r)| = |T B_\delta(1)| = |\det(T)| |B_{\delta(1)}| = r^2 |B_\delta(1)| \>,$

T (x) = r x = (r x_{1}, r x_{2})

$T(x) = r x = (r x_1, r x_2)$ この場合です。

この表示されている場合、そののための均一に分布、次いでイーグルアイドリーダーは、ここではノルムの均一性のみを使用したことに注意してください。そのため、均一変換の下で閉じられたセットのクラスの均一分布に対しても同様の結果が一般的に保持されます。 $D = \delta(X)$ $X$ $B_\delta(r)$

P (D \leq d) = \frac{| B_{δ} (d) |}{| B_{δ} (r) |} = (d / r)^{2} .

$\Pr(D \leq d) = \frac{|B_\delta(d)|}{|B_\delta(r)|} = (d/r)^2 \>.$

2点を選択した画像を次に示します。示されているノルムは、ユークリッドノルム、ノルム、ノルム、およびノルムです。各ユニットボールの輪郭は黒で、ランダムに選択された2つのポイントが存在する最大のボールが対応する色で描かれます。 $\ell_1$ $\sup$ $\ell^p$ $p = 5$

条件付き確率は、対応するノルムを使用して距離を測定した場合、各画像で同じです。 $p(A,B,r)$

4つの規範

— 枢機卿
ソース

+1これを解決するために同様の画像を使用していましたが、私の場合、は垂直軸ではなく水平軸です:-)。統合のドメインの表現を標準化するのに役立ちます。正のおよび場合、それは、すぐに中心を示すそしてとスケーリングを示します。

u_{1}

$u_1$

A

$A$

B

$B$

(x - 1 / (A B)) (y + 1 / B) < - 1 / (A^{2} B)

$(x-1/(AB))(y+1/B) \lt -1/(A^2 B)$

(1 / (A B), - 1 / B)

$(1/(AB), -1/B)$

A

$A$

B

$B$

— whuber

@whuber：（+1）私はそれをするかどうかについてフェンスの中にいました。私が行った数値で行った理由は、逆マッピングを導入する必要がないようにするためでした。最も自然に見えるものから軸を反転させることで、それを回避することができました。:)

— 枢機卿