特定のnに対して、比率の標準誤差が0.5で最大になるのはなぜですか？

比率の標準誤差は、問題の比率が0.5の場合に、指定されたNに対して最大になる可能性があり、比率が0.5から離れるほど小さくなります。比率の標準誤差の方程式を見ると、なぜそうなのかわかりますが、これについてはこれ以上説明できません。

式の数学的特性を超えた説明はありますか？もしそうなら、なぜそれらが0または1に近づくにつれ、（与えられたNの）推定比率の周りの不確実性が少なくなるのですか？

背景と用語

$p$

$n$$X$$n$$p$$X$$(n,p)$$X/n$

$X/n$$n$$p$$1/2$

$X/n$$n$$p$$\operatorname{se}(p)$$\operatorname{se}(p) = \operatorname{se}(1-p)$$p=1-p$$p=1/2$$\operatorname{se}(p)$$p$$1/2$$0$

知識vs理解

$\operatorname{se}(p)$$p$$1/2$$p=1/2$

シンプルで直感的な分析

$p$$X/n$$p$$0$$1/2$$X/n$$p$$pn$$(1-p)n$$p n$$p$$p$$X$$p\times (1-p)n$$X/n$$p(1-p)n/n = p(1-p)$

終局

$p(1-p)$$p=1/2$$p=0$$p=1$

$p(1-p)$$X$$p(1-p)n$$X$$pn$ $\sqrt{p(1-p)n}$$n$$X/n$$\sqrt{p(1-p)n}/n = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},$$X/n$

0 <= p <= 1の場合の関数p（1-p）を考えます。微積分を使用すると、p = 1/2で最大値である1/4であることがわかります。これがsqrt（p（1-p）/ n）である比率の推定値の標準偏差に関連する二項式であることがわかる場合、p = 1/2が最大です。p = 1または0の場合、常にすべて1またはすべて0になるため、標準エラーは0です。したがって、0または1に近づくと、連続性の引数は、pが0または1に近づくにつれて標準誤差が0に近づくと言います。実際、pが0または1に近づくと、単調に減少します。割合。

$n$

比率は0から1の間でなければならないため、不確実性はこれらの範囲によって制約されます。平均比がちょうど真ん中でなければ、これらの範囲の1つは他の範囲よりも制限されます。

$p$$\min[\,p\,,1-p\,]$