二項分布の分散がわかりません

私はそのような基本的な質問をすることさえ本当に馬鹿だと感じますが、ここに行きます：

私は、ランダムな変数がある場合は値取ることができますとして、と私が描くならば、それからサンプルを、私が買ってあげます二項分布。 $X$ $0$ $1$ $P(X=1) = p$ $P(X=0) = 1-p$ $n$

分布の平均は

$\mu = np = E(X)$

分布の分散は

$\sigma^2 = np(1-p)$

ここから私のトラブルが始まります：

分散はで定義されます。2つの可能な結果の2乗は何も変化しないため（および）、これはを意味するため、 $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

余分なはどこに行くのですか？おそらく私は統計があまり得意ではないので、複雑な用語は使用しないでください。 $n$

variance binomial

— ダイン
ソース

もしこれらは独立しており、次いで。しかし、さらに簡単なルートはなので、なので、独立した

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry

回答:

確率およびで値およびをとる確率変数は、パラメーター持つベルヌーイ確率変数と呼ばれます。このランダム変数はからサイズランダムサンプルがあり、新しいランダム変数を定義するとします、の分布はBinomialと呼ばれ、そのパラメータは $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$ と。二項確率変数Yの平均と分散は、与えられます。

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
ソース

これは、「余分なnはどこに行くのですか？」という質問にどのように答えますか？

— アメーバは、モニカに

@amoebaコメントありがとうございます。OPはベルヌーイ確率変数と二項確率変数を区別できなかったため、必要な定義と必要な式を取得するプロセスを思い出させることを考えました。

— LVRao

OPの推論の間違いを明示的に指摘すれば、あなたの答えは（私の意見では）改善されると言っています。あなたの答えは正しい公式を導き出しますが、OPがどこで間違ったのかを示していません。

— アメーバは、モニカーを復活させる

@amoebaはい。何らかの方向性を与え、自分自身を正すことも時々役立ちます。

— LVRao

証明プロセスの2つの間違い：

1：最初の段落では、と比較して異なる定義がある記事の残りの部分では。 $X$ $X$

2：条件の下ではその〜、。から作業してみてください $X$ $Bin(p, n)$ $E(X^2) \ne E(X)$ $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— user158565
ソース

目を出血させるのが好きなら、大学院のメモをたくさん書き起こしました。この特定のリンクは、E（X）およびE（X ^ 2）nutterb.github.io/ItCanBeShown/

— ベンジャミン