従属変数の変換に

従属変数を持つ線形回帰モデルがあると想像してください。そのR 2 yを見つけます。ここで、別の回帰を行いますが、今回はlog （y ）で、同様にR 2 log （y ）を見つけます。R 2を比較してどちらのモデルが適しているかを確認することはできないと言われました。何故ですか？私に与えられた理由は、異なる量（異なる従属変数）の変動性を比較するためです。これが十分な理由であるかどうかはわかりません。$y$$R^2_y$$\log(y)$$R^2_{\log(y)}$$R^2$

これを形式化する方法もありますか？

任意の助けいただければ幸いです。

「数量が異なる」ということはあまり説明になりそうにないので、これは良い質問です。

を使用してこれらのモデルを比較する場合は注意が必要な2つの重要な理由があります。粗すぎて（実際に適合度を評価していない）、少なくとも1つのモデルには不適切です。この返信は、2番目の問題に対処しています。$R^2$

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理論上の扱い

は、モデル残差の分散と応答の分散を比較します。分散は、フィットからの平均二乗加法偏差です。したがって、 R 2は応答 yの 2つのモデルを比較するものとして理解できます。 $R^2$$R^2$$y$

「ベース」モデルは

$$y_i = \mu + \delta_i\tag{1}$$

$\mu$$\delta_i$$\tau^2$

$x_i$

$$y_i = \beta_0 + x_i \beta + \varepsilon_i.\tag{2}$$

$\beta_0$$\beta$$\varepsilon_i$$\sigma^2$。

$R^2$$\tau^2-\sigma^2$$\tau^2$

対数を取り、最小二乗法を使用してモデルを近似すると、暗黙的に次の形式の関係が比較されます。

$$\log(y_i) = \nu + \zeta_i\tag{1a}$$

フォームのいずれかに

$$\log(y_i) = \gamma_0 + x_i\gamma + \eta_i.\tag{2a}$$

$(1)$$(2)$$(2\text{a})$

$$y_i = \exp(\log(y_i)) = \exp(\gamma_0 + x_i\gamma)\exp(\eta_i).$$

$\exp(\eta_i)$$y_i = \exp(\gamma_0 + x_i\gamma)$

$$\operatorname{Var}(y_i) = \exp(\gamma_0 + x_i\gamma)^2\operatorname{Var}(e^{\eta_i}).$$

$x_i$$(2)$$\sigma^2$。

$(1\text{a})$$(2\text{a})$$(1)$$(2)$$R^2$$R^2$

分析

$R^2$$x$$y$$\varepsilon_i$$\eta_i$

このようなモデル（一般に発生します）は、指数関係に適合する最小二乗法です。

$$y_i = \exp\left(\alpha_0 + x_i\alpha\right) + \theta_i.\tag{3}$$

$y$$x$$(2\text{a})$$\theta_i$$(2)$$R^2$$x$$y$

$(3)$$300$$x_i$$1.0$$1.6$$(x,y)$$(x,\log(y))$

$R^2$$0.70$$0.56$$R^2$$R^2$$0.70$

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$\log(y)$$(3)$