指数に従うランダム変数の合計がガンマに続き、パラメーターによって混乱します

ガンマ分布に従う指数ランダム変数の合計を学びました。

しかし、パラメータ化はどこでも異なります。たとえば、Wikiは関係を説明していますが、それらのパラメーターが実際に何を意味するのかを述べませんか？形状、スケール、レート、1 /レート？

指数分布： $x$ 〜 $exp(\lambda)$

f （ バツ | λ ） = λ e^{- λ バツ}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [バツ] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r （ バツ ） = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

ガンマ分布： $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f （ バツ | α 、 β ） = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ （ α ）} {バツ}^{α - 1} e^{- \frac{バツ}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [バツ] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [バツ] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

この設定で、何ですか？正しいパラメーター化はどうなりますか？これをカイ二乗に拡張してみませんか？ $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— エドウィン
ソース

大まかな準備として、確率論者は

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$ を使用して平均

ガンマ分布を示す傾向があります

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$ （つまり、

統計を使用する傾向がある

平均でガンマ確率変数を示すために

ありません、

あなたがそれを持っている方法。ウィキペディアでは、両方の規則について説明しています。

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— ディリップサルワテ

ごめんなさい、あなたは正しいです。

— エドウィン

2つのヒント：1.次元の一貫性を確認することを忘れないでください。（たとえば、パラメーターの次元は

と同じか、またはその逆数ですか??）もちろん、それは同じです）

x

$x$

— レオンブロ

@edwin質問を編集して、平均と分散の式を修正してください。

— ディリップサルワテ

@DilipSarwateが編集されました！

— エドウィン

回答:

合計の独立したガンマ確率変数ガンマ確率変数がある。ランダム変数すべてが同じ 2番目のパラメーターを持っている限り、2番目のパラメーターの意味（スケールまたはスケールの逆数）は重要ではありません。このアイデアは、容易に拡張ガンマ確率変数の特殊なケースです確率変数。 $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— ディリップ・サルワテ
ソース

事混乱は、私はいくつかの本を書きされていることを

どこ

他の人が1 /レートを意味している間、率です。一貫した表記はありますか？PDFが表示されない限り、それらの意味がわかりません。

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— エドウィン

混乱していると思われる場合は、通常のランダム変数に遭遇するまで待ちます。あり、少なくとも 三つの異なる解釈の

統計学者が使うことは。

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— ディリップサーワテ

笑、それはただ主題を研究したい無実の魂を台無しにしているだけです。私は個人的にそれが著者の側に不十分に書かれていると思うと同時に、間違ったものを見つける能力を適応させる必要があることに同意します。しかし、それでも、私が赤ちゃんの一歩を踏み出すときではありません。

— エドウィン

まあ、他の質問への回答の著者として、私はあなたがその回答が不十分に書かれていると思うことに失望しています。それを改善するための提案は大歓迎です。

— ディリップサルワテ

私はあなたのリンクについて言及していません。

— エドウィン

和スケールと指数分布をIID （速度）形状を有するガンマ分布であり、スケール（率）。 $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— ニール・G
ソース

ガンマ分布は、ガンマ分布の基礎となる指数分布である指数分布で構成されています。そして、もし我々が持っている、限りすべてとして独立しています。 $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— はさんみさい
ソース

あなたの答えの数学の部分をフォーマットしました。これがまだあなたが言いたいことであるかどうかを確認してください。

— アンディ

あなたのアサーション

あなたがいることを主張することによって、それを修飾しない限り、間違っている

している独立した確率変数。

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$

— ディリップサルワテ