非iidベルヌーイ変数のこのランダムな合計の確率分布は何ですか？

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一様に分布していないランダムな数の変数の合計の確率分布を見つけようとしています。次に例を示します。

ジョンはカスタマーサービスのコールセンターで働いています。彼は問題のある電話を受け、それらを解決しようとします。彼が解決できないものは、彼を上司に転送します。彼が1日に受け取る通話の数が平均ポアソン分布に従うと仮定します。それぞれの問題の難易度は、かなり単純なもの（間違いなく対処できるもの）から、解決方法がわからない非常に専門的な質問までさまざまです。i番目の問題を解くことができる確率は、パラメーターおよびベータ分布に従い、以前の問題とは無関係であると仮定します。彼が1日に解決する通話数の分布はどのようになっていますか？ $\mu$ $p_i$ $\alpha$ $\beta$

より正式には、私は：

のために $Y = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i$ $i = 0, 1, 2, ..., N$

ここで、、及び $N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$ $(X_i | p_i) \sim \mathrm{Bernoulli}(p_i)$ $p_i \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

今のところ、は独立していると思います。が大きい場合の実際の例では、パラメーターおよびは、ベータ分布の成功率が低いほど多くの質量を持つようになっていますが、パラメーターおよびは互いに影響しないことも受け入れます。レート。しかし、今はそれを無視しましょう。 $X_i$ $\mu, \alpha$ $\beta$ $\mu$ $\alpha$ $\beta$ $p$

$P(Y = 0)$ $Y$ $\mu, \alpha$ $\beta$

この質問はTalkStatsフォーラムにも投稿しましたが、ここでもっと注目されるかもしれないと思いました。クロスポストについてお詫び申し上げます。

$\mathrm{Poisson}(\frac{\mu\alpha}{\alpha + \beta})$ $\mathrm{Beta}$

$\mathrm{Beta}(2, 2)$ $\mathrm{Beta}(0.75, 0.75)$

$\mathrm{Poisson}(0.5\mu)$

probability distributions random-variable

— コンスタンティノス
ソース

N

$N$

N

$N$

あなたは見てかかることがあります化合物ポアソンをしていますが、その有用なものにするために0といくつかの作業を行う必要があるかもしれません

— Glen_b -Reinstateモニカ

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$X_i$ $N$ $X_i = 1$ $X_i = 0$ $1$ $X_i = 1$ $p$ $1$ $p\mu$ 。実際、これは事実です。そこにたどり着くには、追加の手順が必要です。

$p_i$

P r (X_{i} | α, β) = \int_{0}^{1} p_{i}^{X_{i}} (1 - p_{i})^{1 - X_{i}} \frac{p_{i}^{α - 1} (1 - p_{i})^{β - 1}}{B (α, β)} d p_{i} = \frac{B (X_{i} + α, 1 - X_{i} + β)}{B (α, β)}

$\mathrm{Pr}(X_i|\alpha, \beta) = \int_0^1 p_i^{X_i} (1-p_i)^{1-X_i} \frac{p_i^{\alpha-1} (1-p_i)^{\beta-1}}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)} dp_i = \frac{\mathcal{B}(X_i + \alpha, 1 - X_i + \beta)}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)}$

$\mathcal{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$ $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$

P r (X_{i} = 1 | α, β) = \frac{Γ (1 + α) Γ (β)}{Γ (1 + α + β)} \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} = \frac{α}{α + β}

$\mathrm{Pr}(X_i = 1|\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

X_{i} \sim B e r n o u l l i (\frac{α}{α + β})

$X_i \sim \mathrm{Bernoulli}(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})$

Y

$Y$

\frac{α μ}{α + β}

$\frac{\alpha \mu}{\alpha+\beta}$

数値の例（Rを使用）...図の縦線はシミュレーションからのもので、赤い点は上記で導出されたpmfです。

draw <- function(alpha, beta, mu) 
{ N <- rpois(1, mu); p = rbeta(N, alpha, beta); sum(rbinom(N, size=1, prob=p)) }

pmf <- function(y, alpha, beta, mu)
  dpois(y, alpha*mu/(alpha+beta))

y <- replicate(30000,draw(4,5,10))
tb <- table(y)

# simulated pmf
plot(tb/sum(tb), type="h", xlab="Y", ylab="Probability")
# analytic pmf
points(0:max(y), pmf(0:max(y), 4, 5, 10), col="red")

— ネイト・ポープ
ソース

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$p_i$ $\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$ $\mathbb{E}[p_i]= \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ $i$
$\mu$ $\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ $\dfrac{\mu\alpha}{\alpha+\beta}$
$\mathbb{P}(Y=0) = e^{-{\mu\alpha}/({\alpha+\beta})}$

— ヘンリー
ソース