ロジスティッククォンタイル回帰–結果を最適に伝える方法

以前の投稿で、EQ-5Dスコアをどのように扱うかを考えました。最近、BottaiとMcKeownが提案したロジスティッククォンタイル回帰に出くわしました。式は簡単です：

$logit(y)=log(\frac{y-y_{min}}{y_{max}-y})$

回避ログ（0）と0で除算するには、小さな値で範囲を拡張。これにより、スコアの境界を尊重する環境が得られます。$\epsilon$

問題は、すべてのがロジットスケールになり、通常のスケールに変換し直さなければ意味がないことですが、それはβが非線形であることを意味します。グラフ作成の目的では、これは重要ではありませんが、βの数が多い場合は問題になりません。$\beta$$\beta$$\beta$

私の質問：

フルスパンを報告せずにロジットを報告するにはどうすればよいですか？$\beta$

実装例

実装をテストするために、この基本機能に基づいたシミュレーションを作成しました。

$outcome=\beta_0+\beta_1* xtest^3+\beta_2*sex$

ここで、、β 1 = 0.5及びβ 2 = 1。スコアには上限があるため、4以上および-1未満の結果値を最大値に設定しました。$\beta_0 = 0$$\beta_1 = 0.5$$\beta_2 = 1$

データをシミュレートする

set.seed(10)
intercept <- 0
beta1 <- 0.5
beta2 <- 1
n = 1000
xtest <- rnorm(n,1,1)
gender <- factor(rbinom(n, 1, .4), labels=c("Male", "Female"))
random_noise  <- runif(n, -1,1)

# Add a ceiling and a floor to simulate a bound score
fake_ceiling <- 4
fake_floor <- -1

# Just to give the graphs the same look
my_ylim <- c(fake_floor - abs(fake_floor)*.25, 
             fake_ceiling + abs(fake_ceiling)*.25)
my_xlim <- c(-1.5, 3.5)

# Simulate the predictor
linpred <- intercept + beta1*xtest^3 + beta2*(gender == "Female") + random_noise
# Remove some extremes
linpred[linpred > fake_ceiling + abs(diff(range(linpred)))/2 |
    linpred < fake_floor - abs(diff(range(linpred)))/2 ] <- NA
#limit the interval and give a ceiling and a floor effect similar to scores
linpred[linpred > fake_ceiling] <- fake_ceiling
linpred[linpred < fake_floor] <- fake_floor

上記をプロットするには：

library(ggplot2)
# Just to give all the graphs the same look
my_ylim <- c(fake_floor - abs(fake_floor)*.25, 
             fake_ceiling + abs(fake_ceiling)*.25)
my_xlim <- c(-1.5, 3.5)
qplot(y=linpred, x=xtest, col=gender, ylab="Outcome")

この画像を与えます：

回帰

このセクションでは、通常の線形回帰、分位点回帰（中央値を使用）、およびロジスティック分位点回帰を作成します。すべての推定値は、bootcov（）関数を使用したブートストラップ値に基づいています。

library(rms)

# Regular linear regression
fit_lm <- Glm(linpred~rcs(xtest, 5)+gender, x=T, y=T)
boot_fit_lm <- bootcov(fit_lm, B=500)
p <- Predict(boot_fit_lm, xtest=seq(-2.5, 3.5, by=.001), gender=c("Male", "Female"))
lm_plot <- plot.Predict(p, 
             se=T, 
             col.fill=c("#9999FF", "#BBBBFF"), 
             xlim=my_xlim, ylim=my_ylim)

# Quantile regression regular
fit_rq <- Rq(formula(fit_lm), x=T, y=T)
boot_rq <- bootcov(fit_rq, B=500)
# A little disturbing warning:
# In rq.fit.br(x, y, tau = tau, ...) : Solution may be nonunique

p <- Predict(boot_rq, xtest=seq(-2.5, 3.5, by=.001), gender=c("Male", "Female"))
rq_plot <- plot.Predict(p, 
             se=T, 
             col.fill=c("#9999FF", "#BBBBFF"), 
             xlim=my_xlim, ylim=my_ylim)

# The logit transformations
logit_fn <- function(y, y_min, y_max, epsilon)
    log((y-(y_min-epsilon))/(y_max+epsilon-y))


antilogit_fn <- function(antiy, y_min, y_max, epsilon)
    (exp(antiy)*(y_max+epsilon)+y_min-epsilon)/
        (1+exp(antiy))


epsilon <- .0001
y_min <- min(linpred, na.rm=T)
y_max <- max(linpred, na.rm=T)
logit_linpred <- logit_fn(linpred, 
                          y_min=y_min,
                          y_max=y_max,
                          epsilon=epsilon)

fit_rq_logit <- update(fit_rq, logit_linpred ~ .)
boot_rq_logit <- bootcov(fit_rq_logit, B=500)


p <- Predict(boot_rq_logit, xtest=seq(-2.5, 3.5, by=.001), gender=c("Male", "Female"))

# Change back to org. scale
transformed_p <- p
transformed_p$yhat <- antilogit_fn(p$yhat,
                                    y_min=y_min,
                                    y_max=y_max,
                                    epsilon=epsilon)
transformed_p$lower <- antilogit_fn(p$lower, 
                                     y_min=y_min,
                                     y_max=y_max,
                                     epsilon=epsilon)
transformed_p$upper <- antilogit_fn(p$upper, 
                                     y_min=y_min,
                                     y_max=y_max,
                                     epsilon=epsilon)

logit_rq_plot <- plot.Predict(transformed_p, 
             se=T, 
             col.fill=c("#9999FF", "#BBBBFF"), 
             xlim=my_xlim, ylim=my_ylim)

プロット

基本関数と比較するために、このコードを追加しました：

library(lattice)
# Calculate the true lines
x <- seq(min(xtest), max(xtest), by=.1)
y <- beta1*x^3+intercept
y_female <- y + beta2
y[y > fake_ceiling] <- fake_ceiling
y[y < fake_floor] <- fake_floor
y_female[y_female > fake_ceiling] <- fake_ceiling
y_female[y_female < fake_floor] <- fake_floor

tr_df <- data.frame(x=x, y=y, y_female=y_female)
true_line_plot <- xyplot(y  + y_female ~ x, 
                         data=tr_df,
                         type="l", 
                         xlim=my_xlim, 
                         ylim=my_ylim, 
                         ylab="Outcome", 
                         auto.key = list(
                           text = c("Male"," Female"),
                           columns=2))


# Just for making pretty graphs with the comparison plot
compareplot <- function(regr_plot, regr_title, true_plot){
  print(regr_plot, position=c(0,0.5,1,1), more=T)
  trellis.focus("toplevel")
  panel.text(0.3, .8, regr_title, cex = 1.2, font = 2)
  trellis.unfocus()
  print(true_plot, position=c(0,0,1,.5), more=F)
  trellis.focus("toplevel")
  panel.text(0.3, .65, "True line", cex = 1.2, font = 2)
  trellis.unfocus()
}

compareplot(lm_plot, "Linear regression", true_line_plot)
compareplot(rq_plot, "Quantile regression", true_line_plot)
compareplot(logit_rq_plot, "Logit - Quantile regression", true_line_plot)

コントラスト出力

今、私はコントラストを取得しようとしましたが、それはほとんど「正しい」ですが、予想通りスパンに沿って変化します：

> contrast(boot_rq_logit, list(gender=levels(gender), 
+                              xtest=c(-1:1)), 
+          FUN=function(x)antilogit_fn(x, epsilon))
   gender xtest Contrast   S.E.       Lower      Upper       Z      Pr(>|z|)
   Male   -1    -2.5001505 0.33677523 -3.1602179 -1.84008320  -7.42 0.0000  
   Female -1    -1.3020162 0.29623080 -1.8826179 -0.72141450  -4.40 0.0000  
   Male    0    -1.3384751 0.09748767 -1.5295474 -1.14740279 -13.73 0.0000  
*  Female  0    -0.1403408 0.09887240 -0.3341271  0.05344555  -1.42 0.1558  
   Male    1    -1.3308691 0.10810012 -1.5427414 -1.11899674 -12.31 0.0000  
*  Female  1    -0.1327348 0.07605115 -0.2817923  0.01632277  -1.75 0.0809  

Redundant contrasts are denoted by *

Confidence intervals are 0.95 individual intervals

$\hat{\beta_2}$$sex$

$\exp\{\hat{\beta_2}\}$

また、1つの共変量に従って予測分位数をいつでも確認できます。もちろん、モデルの他の共変量の値を修正（条件付け）する必要があります（例で行ったように）。

$\log(\frac{y-y_{min}}{y_{max}-y})$

（これはあなたが自分自身を引用したこの論文に書かれていることの単なる（貧弱な）言い換えであるため、これは本当に答えを意図したものではありません。とにかくオンラインジャーナルに興味があるかもしれません）。