時間の影響が個人間で機能的な形で異なる縦断的データのモデリング

コンテキスト：

200人の参加者を対象に、20週間にわたって週に1回従属変数（DV）を測定する縦断的研究があると想像してください。私は一般的に興味がありますが、私が考えている典型的なDVには、雇用後の仕事のパフォーマンスや、臨床心理学的介入後のさまざまな幸福度測定が含まれます。

マルチレベルモデリングを使用して、時間とDVの関係をモデル化できることを知っています。また、係数（切片、勾配など）を個人間で変化させ、参加者の特定の値を推定することもできます。しかし、データを視覚的に検査したときに、時間とDVの関係が次のいずれかであることがわかったらどうなるでしょうか。

• 機能的な形式が異なります（おそらくいくつかは線形であり、他は指数関数的であるか、いくつかは不連続性を持っています）
• 誤差の分散が異なる（個人によっては、ある時点から次の時点までにより変動しやすい）

質問：

• このようなモデリングデータにアプローチする良い方法は何でしょうか？
• 具体的には、どのようなアプローチがさまざまなタイプの関係を識別し、そのタイプに関して個人を分類するのに適していますか？
• そのような分析のためのRにはどのような実装が存在しますか？
• これを行う方法に関する参考文献はありますか？教科書または実際のアプリケーションですか？

次の3つの方向を検討することをお勧めします。

• 縦方向のクラスタリング：これは監視されていませんが、パーティショニングの品質を評価するためにCalinsky基準に依存するk-meansアプローチを使用します（パッケージkmlおよびオンラインヘルプに含まれる参照）。基本的に、個々の時間経過の特定の形状を特定するのに役立ちませんが、同種の進化プロファイルを分離するだけです
• 異分散性を説明するある種の潜在成長曲線：私の最善の推測は、MPlusソフトウェアに関する広範な参照、特にFAQとメールを参照することです。また、ランダム効果乗法的異分散モデルについて聞いたことがあります（これらのキーワードをグーグルで試します）。私はこれらの論文（見つける1、2）面白いのが、私は詳細にそれらを見ていませんでした。オフィスに戻ったら、神経心理学的評価に関する参考文献を更新します。
• 機能的PCA（fpcaパッケージ）が機能的データ分析を見る価値があるかもしれません

その他の参照（オンザフライで参照）：

• Willett＆Bull（2004）、潜在成長曲線分析 -著者は、非線形読み取り軌跡でLGCを使用しています
• Welch（2007）、モデル適合と非線形潜在成長曲線モデルの解釈 -潜在成長モデリングのコンテキストでの非線形変化のモデリングに関する博士号
• Berkey CS、Laird NM（1986）。非線形成長曲線分析：母集団パラメーターの推定。アン・ハム・バイオル。1986年3月-4月; 13（2）：111-28
• ライス（2003）、機能的および縦断的データ分析：平滑化の展望
• ウー、ファン、ミュラー（2007）。変動係数関数線形回帰

Heping Zhangによる、縦断データのモデリングに適応スプラインを使用したいくつかの論文をご覧になることをお勧めします。

• 縦断的データの解析のための多変量適応スプライン（無料PDF）
• 縦断的および成長曲線データの分析のための混合効果多変量適応スプラインモデル

さらに、Rパッケージを含むソフトウェアのMASALページを参照してください。

私には、Growth Mixture Modelsがエラー分散を調べる可能性があるように思えます。（こちらのPDF）。（乗法的異分散モデルが何であるかはわかりませんが、間違いなくチェックアウトする必要があります）。

潜在グループベースの軌跡モデルは、犯罪学で最近非常に人気が高まっています。しかし、多くの人々は、グループが実際に存在することを単に当然のことと考えており、いくつかの鋭い研究は、ランダムなデータでもグループが見つかることを指摘しています。また、Naginのグループベースのモデリングアプローチでは、エラーを評価することはできません（そして、正直なところ、不連続のように見えるモデルを見たことはありません）。

20時点では困難ですが、探索目的では、パターンを識別するための単純なヒューリスティックを作成すると役立ちます（たとえば、常に低いまたは常に高い変動係数）。スプレッドシートまたは平行座標プロットでスパークラインを想定していますが、それらが役立つとは思いません（正直なところ、非常に啓発的な平行座標プロットを見たことはありません）。

がんばろう

この質問をしてから4年後、私はいくつかのことを学んだので、おそらくいくつかのアイデアを追加する必要があります。

ベイジアン階層モデリングは、この問題に対する柔軟なアプローチを提供すると思います。

ソフトウェア：jags、stan、WinBugsなどのツールと、それぞれのRインターフェイスパッケージ（rjags、rstanなど）を組み合わせて、このようなモデルを簡単に指定できます。

人内誤差の変化： ベイジアンモデルを使用すると、人内誤差の分散を、人によって異なるランダムな要因として簡単に指定できます。

$y$$i=1,..., n$$j=1,...J$

$$y_{ij}\sim N(\mu_i, \sigma^2_i)$$ $$\mu_i = \gamma$$ $$\gamma \sim N(\mu_\gamma, \sigma^2_\gamma)$$ $$\sigma_i \sim \rm{Gamma}(\alpha, \beta)$$

したがって、各個人の標準偏差はガンマ分布としてモデル化される場合があります。私はこれが多くの心理学的領域で重要なパラメータであることがわかった。そこでは人々は時間とともにどれほど変化するかが異なる。

潜在的な曲線のクラス： このアイデアはまだ検討していませんが、各個人に対して2つ以上のデータ生成関数を指定し、ベイジアンモデルが特定の個人に対して最も可能性の高いモデルを選択できるようにすることは比較的簡単です。したがって、通常、どの機能フォームが個人データを記述するかに関して、各個人の事後確率を取得します。

モデルのアイデアのスケッチとして、次のようなものがあります。

$$y_{ij} \sim N(\mu_{ij}, \sigma^2)$$ $$\mu_{ij} = \gamma_i \lambda_{ij}^{(1)} + (1 - \gamma_i) \lambda_{ij}^{(2)}$$ $$\lambda_{ij}^{(1)} = \theta^{(1)}_{1i} + \theta^{(1)}_{2i} \exp(-\theta^{(1)}_{3i})$$ $$\lambda_{ij}^{(2)} =\theta^{(2)}_{1i} + \theta^{(2)}_{2i} x_{ij} + \theta^{(2)}_{3i} x^2_{ij}$$ $$\gamma_i = \rm{Bernoulli}(\pi_i)$$

$x_{ij}$$\lambda_{ij}^{(1)}$$\lambda_{ij}^{(2)}$$\pi_i$$\lambda_{ij}^{(1)}$

John Foxには、nlmeを使用して縦断データを調べるためのオンラインで利用可能なすばらしい付録があります。あなたに役立つかもしれません：

http://cran.r-project.org/doc/contrib/Fox-Companion/appendix-mixed-models.pdf

そこには素晴らしいものがたくさんあります（そしてFoxの本は一般的にかなり良いです！）。