PCAと漸近PCAの違いは何ですか？

1986年と1988年の2つの論文で、コナーとコラジクは資産の収益をモデル化するアプローチを提案しました。これらの時系列は、通常、期間の観測よりも多くの資産を持っているため、資産収益の断面共分散に対してPCAを実行することを提案しました。彼らは、このメソッドを漸近主成分分析（APCA、PCAの漸近特性を聴衆がすぐに考えるため、かなり混乱します）と呼びます。

方程式を作成しましたが、2つのアプローチは数値的には同等に見えます。収束はではなくで証明されるため、漸近性はもちろん異なります。私の質問は、APCAを使用してPCAと比較した人はいますか？具体的な違いはありますか？もしそうなら、どれ？T → $N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

違いはまったくありません。

標準のPCAとC＆Kが提案し、「漸近PCA」と呼んだものとの間にまったく違いはありません。別の名前を付けるのは非常にばかげています。

PCAの簡単な説明を次に示します。行にサンプルがある中心データがデータ行列格納されている場合、PCAは共分散行列1の固有ベクトルを探します$\mathbf X$、及び主要成分を得るために、これらの固有ベクトルにデータを投影します。同様に、グラム行列を考えることができます$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

C＆Kが提案したのは、主成分を計算するためにグラム行列の固有ベクトルを計算することであるように思えます。まあ、すごい。これはPCAと「同等」ではありません。それがある PCA。

混乱を助長するために、「漸近PCA」という名前は、PCAではなく、因子分析（FA）との関係を指しているようです！元のC＆Kの論文はペイウォールの下にあるので、Google Booksで入手できるTsayの財務時系列の分析からの引用は次のとおりです。

$k$$\to \infty$

$k \to \infty$

• EFAの代わりにPCAを使用する正当な理由はありますか？また、PCAは因子分析の代わりになりますか？
• PCAとFAはどのような条件下で同様の結果をもたらしますか？

結論として、C＆Kは標準PCA（「漸近FA」とも呼ばれる）の用語「漸近PCA」を作成することにしました。この用語を決して使用しないことをお勧めするまで行きます。

通常、APCAは、シリーズは多数あるがサンプルが非常に少ないときに使用されます。あなたが指摘した同等性のために、私はAPCAをPCAより良くも悪くも説明しません。ただし、ツールが適用されるタイミングは異なります。これが論文の洞察です。より便利な場合は、次元を反転できます！したがって、あなたが言及したアプリケーションには多くの資産があるため、共分散行列を計算するには長い時系列が必要になりますが、APCAを使用できるようになりました。とはいえ、APCAは他の手法（因子分析など）を使用して次元数を減らすことを試みることができるため、APCAが頻繁に適用されるとは思わない。