しきい値処理されたベータ分布を効率的にサンプリング

次の分布から効率的にサンプリングするにはどうすればよいですか？

$$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$$

が大きすぎない場合、リジェクションサンプリングが最善のアプローチである可能性がありますが、kが大きい場合の処理​​方法がわかりません。おそらく、適用できる漸近近似がありますか？$k$$k$

$F$$p_0 = F(k)$

$$U \sim \mathcal{U}(p_0, 1) \\ X = F^{-1}(U)$$

$X$$F$$k$$F^{-1}$$F$$U$

$\mathcal{U}(p_0, 1)$$\mathcal{B}(2, 8)$

$k$

$\alpha$$\beta$$k_1<k_2$

$$f(x) = \frac{x^{(\alpha-1)}(1-x)^{(\beta-1)}}{\operatorname{B}(k2, \alpha, \beta) - \operatorname{B}(k_1, \alpha, \beta)}$$

$x_\mathrm{L}$$x_\mathrm{U}$$\alpha,\beta>1$

$$g(x) = c \cdot \lambda \mathrm{e}^{-\lambda (x-x_\mathrm{L})}$$

を見つける$\lambda$

$$-\lambda = \frac{a-1}{x} - \frac{b-1}{1-x}$$ $c$ $$c = \frac{f(x)}{\lambda\mathrm{e}^{-\lambda(x-x_\mathrm{L})}}$$

$$A = c \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda(x_\mathrm{U}-x_\mathrm{L})})$$ $x$$\lambda$$c$

$$\begin{align} Q(x)= & \frac{x^a (1-x)^b}{(a+b-2)x - a+1} \cdot\\ & \left[\exp\left(\frac{(b-1)(x-x_L)}{1-x} + \frac{x_L (a-1)}{x} - (a-1)\right) - \right.\\ & \left. \exp\left(\frac{(b-1)(x-x_U)}{1-x} + \frac{x_U(a-1)}{x} - (a-1)\right)\right]\\ \end{align}$$

微分書く$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x}$$x$$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = 0$

$k_1$$k_2$$U$$\frac{- \log(1-U)}{\lambda}$$\lambda$

このアプローチの美点は、すべてのハードワークがセットアップにあることです。エンベロープ関数を定義すると、トランケートされたベータ密度の正規化定数が計算され、あとは均一なランダム変量を生成して、いくつかの単純な算術演算、ログと累乗、および比較を実行するだけです。包絡線関数を引き締めると（水平線またはより多くの指数曲線を使用して）、当然、拒否の数を減らすことができます。