同じn、kのすべての可能な値を持つ組み合わせの合計を単純化する

この方程式を単純化する方法はありますか？

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

またはより一般的には、

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— アイドル
ソース

アイスクリーム店は、風味のないアイスクリームを製造し、5 種類の風味濃縮物（バニラ、チョコレート、ファッジ、ミント、ジャモカ）の1つ以上を追加して、店で販売可能なさまざまなアイスクリームを作成します。したがって、異なるフレーバーの数は

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ です。フレーバーの数を手動で計算してみてください。追加のクレジットについては、ストアを特定します。

— ディリップサーワテ

回答:

見る

言う

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

これは二項定理を使用して証明できます。 $x=y=1$

ここで、任意のため、 $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

あなたの場合はなので、答えはです。 $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— 大きい
ソース

ありがとう。私は回帰の入力機能のすべての可能なセットを把握しようとしていたので、私の考えは統計から始まりますが、この質問自体は統計ではないと思います。

— Idr

問題ない。あなたが有用であるとわかった回答を支持することおよび/または受け入れることを検討してください:)

— マクロ

もちろん。また、私はあなたの私はkのはずだと考えています。

— Idr

あなたは正しい-修正済み。

— マクロ

これを確認する簡単な方法は、各要素を取得するか（1）、取得しないか（0）です。したがって、すべての2進数をnビットで表すことができます：2 ^ n。これは、1つのアイテムが削除されたすべての組み合わせに加えて、2つのアイテムが削除されたすべての組み合わせになります。

— スニコラス

宿題？

ヒント：

二項定理を覚えておいてください：

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

ここで、が一定になるようにxとyを見つけることができたら... $x^ky^{n-k}$

— エリック
ソース