幾何平均は、どの連続分布の平均の不偏推定量ですか？

閉じた形で表現できる連続分布はありますか？その平均は、サンプルの幾何平均がその平均の不偏推定量であるようなものですか？

更新：私はサンプルが正でなければならない（または、幾何平均が存在しない可能性がある）ことに気付いたので、連続は正しい言葉ではないかもしれません。確率変数の負の値に対してはゼロであり、正の値に対しては連続である分布はどうでしょうか。切り捨てられた分布のようなもの。

$X$$n>1$

$$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$$

IID仮定のために、我々は持っています

$$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$$

だから私たちは私たちが持つことができるかどうかを尋ねています

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

しかし、ジェンセンの不等式と、累乗が1よりも大きい累乗に対して厳密に凸であるという事実により、ほぼ確実に、非縮退（定数ではない）確率変数に対して、

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

したがって、そのような分布は存在しません。

$GM$

$$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$$

$\mu$$\sigma$

$s = 1/n$

$$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$$

（これは、中央値の偏った推定値であることを示しています）。だが

$$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$$

これは分布の中央値です。また、標本の幾何平均の分散がゼロに収束し、これらの2つの条件は、この推定量が漸近的に一致するのに十分であることを示すこともできます。

$$GM \to_p e^{\mu}$$

これは、算術平均、幾何平均の不等式がJensenの不等式の結果であるため、Alecosの優れた答えと同様の議論です。

• LET：算術平均である$A_n$$A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

• LET幾何平均である：$G_n$$G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

算術平均、幾何平均の不等式の状態その：すべての観察が等しい場合にのみ等価と。（AMGMの不等式は、ジェンセンの不等式の結果です。）$A_n \geq G_n$$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

ケース1：ほぼ確実$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

次に、です。$\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

ある意味では、これは完全に退化したケースです。

ケース2： for$P(X_i \neq X_j) > 0$$i\neq j$

次に、相乗平均が算術平均よりも小さいという正の確率があります。すべての結果についておよび、ます。 E [ N ] = E [ X ] E [ G N ] < E [ X $G_n \leq A_n$$\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$$\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$