回帰係数の逆変換

変換された従属変数を使用して線形回帰を実行しています。残差の正規性の仮定が保持されるように、次の変換が行われました。変換されていない従属変数は負に歪んでおり、次の変換によりそれが正常に近くなりました。

$$Y=\sqrt{50-Y_{orig}}$$

ここで、$Y_{orig}$は元のスケールの従属変数です。

元のスケールに戻るには、$\beta$係数に何らかの変換を使用するのが理にかなっていると思います。次の回帰式を使用して、

$$Y=\sqrt{50-Y_{orig}}=\alpha+\beta \cdot X$$

Xを修正することにより、$X=0$

$$\alpha=\sqrt{50-Y_{orig}}=\sqrt{50-\alpha_{orig}}$$

そして最後に、

$$\alpha_{orig}=50-\alpha^2$$

同じロジックを使用して、私は見つけました

$$\beta_{orig}=\alpha\space(\alpha-2\beta)+\beta^2+\alpha_{orig}-50$$

これで、1つまたは2つの予測子を持つモデルで非常にうまく機能します。逆変換された係数は元の係数に似ていますが、標準誤差を信頼できるようになりました。問題は、次のような相互作用用語を含めるときに発生します

$$Y=\alpha+X_1\beta_{X_1}+X_2\beta_{X_2}+X_1X_2\beta_{X_1X_2}$$

そうすると、の逆変換は元のスケールの逆変換にそれほど近くなく、なぜ起こるのかわかりません。また、ベータ係数を逆変換するために見つかった式が、3番目のβ（相互作用項）でそのまま使用できるかどうかもわかりません。クレイジー代数に入る前に、私はアドバイスを求めると思いました...$\beta$$\beta$

一つの問題は、あなたが書いたことです

$$Y=α+β⋅X$$

それは単純な決定論的（つまり、非ランダム）モデルです。その場合、元のスケールで係数を逆変換することができます。これは単純な代数の問題だからです。しかし、通常の回帰では、あなたしかいないの。モデルからエラー用語を除外しました。YからY o r i gへの変換が非線形である場合、E （ f （X ）） ≠ f （ E $E(Y|X)=α+β⋅X$$Y$$Y_{orig}$、一般的に。それはあなたが見ている矛盾と関係があるのではないかと思います。$E\big(f(X)\big)≠f\big(E(X)\big)$

編集：変換が線形の場合、期待は線形であるため、元のスケールで係数の推定値を取得するために逆変換できることに注意してください。

ここであなたの努力に敬意を表しますが、あなたは間違った木をtreeえています。ベータ版を逆変換することはありません。モデルは、変換されたデータの世界に保持されます。あなたが予測を作りたい場合は、たとえば、あなたが戻って変換Yに私を、それはそれです。もちろん、上限値と下限値を計算して予測間隔を取得し、それらを逆変換することもできますが、ベータを逆変換することはありません。 $\hat{y}_i$