結合信頼区間を計算するためのガウス相関不等式の結果

Quanta Magazineのこの非常に興味深い記事によると、「長い間求められていた証拠、発見され、ほとんど失われた」、- 多変量ガウス分布を持つベクトルが与えられたことが証明されました。そして間隔所与の対応する構成要素の手段を中心、次いで、 $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

p (x_{1} \in I_{1}, \dots, x_{n} \in I_{n}) \geq \prod_{i = 1}^{n} p (x_{i} \in I_{i})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

（ガウス相関不等式またはGCI。より一般的な定式化については、https： //arxiv.org/pdf/1512.08776.pdfを参照してください）。

これは本当に素晴らしく簡単に思えますが、記事は、それが共同信頼区間に結果をもたらすと述べています。しかし、それに関しては私にはまったく役に立たないようです。我々はパラメータ推定されていると仮定、我々は推定したある（多分漸近的に）共同ノーマル（例えば、MLE推定）。次に、各パラメーターの95％信頼区間を計算すると、GCIはハイパーキューブが $\theta_1,\dots,\theta_n$ $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ $I_1\times\dots I_n$ ...これは、適度なでもかなり低いカバレッジです。 $(0.95)^n$ $n$

したがって、共信頼領域を見つける賢い方法ではないようです。多変量ガウス、つまり超楕円体の通常の信頼領域は、共分散行列が既知で、よりシャープであるかどうかを見つけるのは難しくありません。共分散行列が不明な場合に信頼領域を見つけることが役立つかもしれませんか？GCIと共同信頼領域の計算との関連性の例を教えてください。

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— DeltaIV
ソース

あなたは正しい考えを持っています。ジョイント領域が95％を達成するには、個々の信頼区間が95％よりもはるかに高い必要があります。それぞれは、少なくとも0.95の1 / n乗でなければなりません。

— マイケルR.チェルニック

I_{k}

$I_k$

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$

@amoeba証明の難しさではなく、適用された統計との関連性について心配しています。ハイパーレクタングルを考慮すると、そのような関連性をより簡単に示すことができます。代わりに、この不等式が実際に役立つのは、任意のポリゴンが十分に公平であると見なされた場合のみだと思われる場合。「ハイパーレクタングルのみを検討する場合、GCIは応用統計学者にとって非常に有用なツールではありません。しかし...任意のポリゴンを検討する場合、関連するようになるのは...」という回答を受け入れます。

— DeltaIV

編集したかったので、証明付きの論文を調べましたが、今では、ハイパーレクタングルが特別な/簡単なケースなのか、それとも同等の公式なのか、もう100％確信できません。とりあえずここに戻って、後でここに戻ってくるかもしれません。

— アメーバは、モニカを復活させる

H

$H$

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

問題はもっと関連性があると思います。ある意味では、複数の仮説検定を見て、複数の仮説検定の実行と比較しています。

はい、確かに、独立性を仮定したテストのp値の積である下限があります。これは、ボンフェローニまたはホルム調整などの多仮説検定でのp値の調整の基礎です。しかし、BonferroniとHolmの調整（独立を前提とする）は、特に低電力テストです。

実際にははるかにうまくいくことができます（これは、Bootstrapを介して行われます。たとえば、H WhiteのBootstrap Reality Check、Romano-Wolfの論文、およびModel-Confidence Setsに関する最新の論文を参照してください）。これらのそれぞれは、高出力の仮説検定（たとえば、この下限を単に使用するよりも良い相関関係を使用する）の試みであり、結果としてはるかに関連性があります。

— NBF
ソース