ベルヌーイを証明することはベータの限界です

それは私たちが解決した場合、その検査によって私には明らかだ（それによって、平均固定）としましょう（、ベータ分布はベルヌーイに近づく）配布。 $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$ $\alpha \rightarrow 0$ $\mu$

例えば：

par(mfrow = c(1, 2),
    oma = c(0, 0, 1.5, 0))
xx = seq(0, 1, length.out = 1000)
mus = c(.2, .7)
for (ii in 1:2) {
  mu = mus[ii]
  matplot(xx, sapply(10^(-1:-5), function(al) 
    pbeta(xx, al, (1-mu)/mu * al)),
    type = 'l', lty = ii,
    main = paste('Mean:', mu),
    ylab = 'Cumulative Probability', xlab = 'x')
}
title('Beta Approaches Bernoulli', outer = TRUE)

つまり、場合、そのCDF、 $X \sim B(\alpha, \frac{1-\mu}{\mu} \alpha)$ $F_X(x; \alpha, \mu)$

lim_{α \to 0} F_{X} (x; α, μ) = 1 - μ = F_{Y} (x) \forall x \in (0, 1)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0} F_X(x; \alpha, \mu) = 1 - \mu = F_Y(x) \quad \forall x \in (0, 1)$

ここで、ベルヌーイ（）、および収束が不均一です。私はこれをより正式に証明しようとしましたが、単純なケース（ような）でさえ、何も進歩することができませんでした。ベータ版のウィキペディアのページでは、ケースが証明されずに何度か言及されています。おそらく、積分を行うことについて簡単なこと、またはベータ/不完全ベータ関数についてのいくつかの事実が欠けています。何か助けていただければ幸いです！ $Y \sim$ $\mu$ $\mu = \frac12$ $\mu = \frac12$

convergence beta-distribution bernoulli-distribution

— マイケルキリコ
ソース

stats.stackexchange.com/a/237849/919での私の回答は、限界確率がと集中することを示しているため、これを暗示しています。図については、2番目のグラフィックスのペアを参照してください。

0

$0$

1

$1$

— whuber

分析は、特に完全で基本的な厳密さで実行される場合、少し面倒になる可能性がありますが、アイデアはシンプルで簡単に把握できます。とに非常に近い小さな領域に焦点を当てます。及びアプローチ、ベータのほぼすべての確率分布は、これらの領域内に位置するようになります。領域のサイズを縮小すると、限界分布が存在する場合、それはベルヌーイ分布のみになる可能性があることがわかります。質問で説明されているように、比率定数に近づけることによってのみ、制限分布を作成できます。 $0$ $1$ $\alpha$ $\beta$ $0$ $(\alpha,\beta)$ $\alpha:\beta$

この分析の良いところは、相対領域を見ると、正規化定数であるベータ関数の動作を考慮する必要がなくなることです。これはかなり単純化されています。（ベータ関数の回避は、ベータ分布の2つの分位点でパラメーターを決定するか？でのベータ分布分位点の私の分析と精神的に似ています） $B(\alpha,\beta)$

この分析のさらなる特徴は、定数形式の単純な積分によって不完全ベータ関数を近似することです。これにより、すべてが微積分の最も基本的な演算と代数的不等式に削減されます。 $\int t^c\mathrm{d}t$ $c\gt -1$

ベータ版PDFは、比例し検討小と下領域への寄与を調べる 3つの間隔以内、、及びとして及びは小さくなります（ただし、プラスのままです）。

f (x) = x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} .

$f(x)=x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}.$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

f

$f$

(0, ϵ]

$(0,\epsilon]$

(ϵ, 1 - ϵ)

$(\epsilon, 1-\epsilon)$

[1 - ϵ, 1)

$[1-\epsilon, 1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

最終的には両方のと以下になります両方の：したがって、両方の極を持つことになりますとのように見て、： $\alpha$ $\beta$ $1$ $f$ $0$ $1$

のグラフは上の青い線です。それと比較して、（赤い曲線、極のみ）と（金の曲線、のみの極）のグラフです。。 $f$ $x^{\alpha-1}$ $0$ $(1-x)^{\beta-1}$ $1$

極限では、下の3つの領域は、互いに相対的にどうなりますか？ $f$

表記の問題として、と記述しますは、と間ののグラフの下の領域です。、、およびの相対サイズについて質問しています。

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t = \int_{0}^{x} t^{α - 1} (1 - t)^{β - 1} d t

$F(x) = \int_0^x f(t)\mathrm{d}t = \int_0^x t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t$

f

$f$

0

$0$

x

$x$

F (ϵ)

$F(\epsilon)$

F (1 - ϵ) - F (ϵ)

$F(1-\epsilon)-F(\epsilon)$

F (1) - F (1 - ϵ)

$F(1)-F(1-\epsilon)$

レッツ推定これらの領域常に仮定一つずつ、と及び。これらの仮定の下で $0 \lt \alpha \lt 1$ $0\lt \beta \lt 1,$ $0\lt x \lt 1,$ $0\lt \epsilon \lt 1/2$

x^{α - 1} > 1; (1 - x)^{β - 1} > 1,

$x^{\alpha-1} \gt 1;\quad(1-x)^{\beta-1}\gt 1,$

$x\to x^{\alpha-1}$ （赤）は減少関数であり、（金）は増加関数です。 $x,$ $x\to (1-x)^{\beta-1}$

左側では、青と赤の曲線が近づいているように見えます。実際、場合、前述の不等式は境界間の各積分と簡単であり、圧搾二近い境界間 $0\lt x \lt \epsilon$
$x^{α - 1} < x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} < x^{α - 1} (1 - ϵ)^{β - 1} .$ $x^{\alpha-1} \lt x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \lt x^{\alpha-1}(1-\epsilon)^{\beta-1}.$ $0$ $\epsilon$ $F(\epsilon)$ $\begin{matrix} (1) & \frac{ϵ^{α}}{α} < F (ϵ) < (1 - ϵ)^{β - 1} \frac{ϵ^{α}}{α} . \end{matrix}$ $\frac{\epsilon^\alpha}{\alpha} \lt F(\epsilon) \lt (1-\epsilon)^{\beta-1} \frac{\epsilon^\alpha}{\alpha}.\tag{1}$
同じ分析が右側にも適用され、同様の結果が得られます。
は凹形であるため、中央の区間では、端点で極値が得られます。その結果、面積はこれらの点がまたがる台形の面積より小さくなります： $f$ $[\epsilon, 1-\epsilon]$
$\begin{matrix} （2） & \begin{aligned} F （ 1 - ε ） - F （ ε ） & < \frac{1}{2} （ f （ ε ） + f （ 1 - ε ））（ 1 - ε - ε ） \\ = \frac{1 - 2 ε}{2} （ ε^{α - 1} （ 1 - ε ）^{β - 1} + （ 1 - ε ）^{α - 1} ε^{β - 1} ））。 \end{aligned} \end{matrix}$ $\eqalign{ F(1-\epsilon) - F(\epsilon) &\lt \frac{1}{2}\left(f(\epsilon) + f(1-\epsilon)\right)(1-\epsilon - \epsilon)\\ &= \frac{1-2\epsilon}{2}\left(\epsilon^{\alpha-1}(1-\epsilon)^{\beta-1} + (1-\epsilon)^{\alpha-1}\epsilon^{\beta-1}\right)).\tag{2} }$

これは厄介を取得する恐れが、のは、一時的に修正してみましょう比率に何が起こるかを検討としてとアプローチ。式とでは、と両方が近づきます。したがって、制限内で重要な唯一の用語は $\epsilon$ $(F(1-\epsilon)-F(\epsilon)):F(\epsilon)$ $\alpha$ $\beta$ $0$ $(1)$ $(2)$ $(1-\epsilon)^{\alpha-1}$ $(1-\epsilon)^{\beta-1}$ $(1-\epsilon)^0=1$

\begin{matrix} （3） & \frac{F （ 1 - ε ） - F （ ε ）}{F （ ε ）} \approx \frac{（ ε^{α - 1} + ε^{β - 1} ） / 2}{ε^{α} / α} = \frac{α}{2 ε} + \frac{α}{2 ε^{α - β}} \approx \frac{α}{ε} \end{matrix}

$\frac{F(1-\epsilon)-F(\epsilon)}{F(\epsilon)} \approx \frac{(\epsilon^{\alpha-1} + \epsilon^{\beta-1})/2}{\epsilon^\alpha / \alpha} = \frac{\alpha}{2\epsilon} + \frac{\alpha}{2\epsilon^{\alpha-\beta}} \approx \frac{\alpha}{\epsilon}\tag{3}$

なぜなら。その結果、、最終的に中央の領域は左側の領域と比較して重要ではなくなります。 $\alpha-\beta \approx 0$ $\alpha\to 0$

同じ議論は、最終的に中央の領域がに正しい領域を近くなり、これも重要ではなくなることを示しています。これは $\beta/\epsilon$

$(*)$ が何であろうと、と両方を十分に小さくすると、基本的に下のすべての領域は左の間隔と正しい間隔。 $0\lt \epsilon\lt 1/2$ $\alpha$ $\beta$ $f$ $(0,\epsilon)$ $(1-\epsilon, 1)$

残りは簡単です：平均は右極の近くの領域に非常に近くなります（証明：左と中央の区間の積分でをに置き換えて右の間隔で、次いで置換することにより、それを過大評価することによって左側に、中央に、およびでどちらの式も、非常に近似しています。）ただし、、相対面積はおよそ $xf(x)$ $0f(x)$ $(1-\epsilon)f(x)$ $xf(x)$ $\epsilon f(x)$ $(1-\epsilon)f(x)$ $f(x)$ $F(1)-F(1-\epsilon)$ $(3),$

\frac{F （ 1 ） - F （ 1 - ε ）}{F （ ε ）} \approx \frac{ε / β}{ε / α} = \frac{α}{β} 。

$\frac{F(1)-F(1-\epsilon)}{F(\epsilon)} \approx \frac{\epsilon/\beta}{\epsilon/\alpha} = \frac{\alpha}{\beta}.$

平均を一定に保つことにより、この比率は一定に保たれ、もう1つの観測を追加できます。 $(*)$

$(**)$ 私たちは聞かせている場合してような方法でその制限定数近づい、の領域に右の領域の後、最終的に比率を左も任意に近くなります。 $\alpha\to 0$ $\beta\to 0$ $\alpha/\beta$ $\lambda$ $\lambda$

次に、ゼロに縮小する考えます。その結果、限界分布が存在し、すべての確率が値と集中している必要がありますこれはベルヌーイ分布のクラスです。どちらをピン留めするか：平均があるベルヌーイ分布は確率を、確率をに割り当てるため、比率は制限比率でなければなりません $\epsilon$ $0$ $1$ $(**)$ $(p)$ $p,$ $p$ $1$ $1-p$ $0$ $p/(1-p)$ $\lambda.$

質問の用語では、

λ = α / （ \frac{1 - μ}{μ} α ） = \frac{μ}{1 - μ} = \frac{p}{1 - p} 、

$\lambda = \alpha / \left(\frac{1-\mu}{\mu}\alpha\right) = \frac{\mu}{1-\mu} = \frac{p}{1-p},$

主張どおり。

— whuber
ソース