定常系列のサンプル自己相関の合計が-1/2になるのはなぜですか？

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この定常系列の特性と自己相関関数について頭をつかむことができません。私はそれを証明しなければなりません

∑h=1n−1ρ^(h)=−12

ここで、およびは自動共分散関数ですγ（H）ρ^(h)=γ^(h)γ^(0)γ^(h)

γ^(h)=1n∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯）

うまくいけば、誰かが証明を手伝ってくれるか、少なくとも私を正しい方向に向けることができます。

time-series  autocorrelation  stationarity 
— エルネスト
ソース
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ヒント：すべての定数減算することにより、のいずれも変化しないであろう、γ（時間）は、想定し得る0 = Σ N T = 1のX Tを。それを二乗して、2つの合計に一致する部分を探します。Xtγ^(h)0=∑t=1nXt
— whuber
返信いただきありがとうございます。私は定数を減算することのいずれかに影響しないことを理解しが、それは私がシリーズの合計が0に等しいと仮定することができますなぜ私は表示されませんγ^(h)
— エルネスト・
を0に等しくする定数を正確に減算します。これでが簡略化され（新しいの平均値が0であるため）、項の操作がはるかに簡単になります（ただし、一般性は失われません）。γ X トン∑Xtγ^Xt
— Glen_b-2017
それはではなくである必要があるようです1 / n1/(n−h)1/n
— Alecos Papadopoulos 2017
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@AlecosPapadopoulos私は両方のバージョンが同じ漸近特性を備えた自己共分散関数の有効な推定量であると思いますが、私はどこかが好ましいと読みました。（理由は、マトリックスが正の半定値であるためです。私は数学者ではないので、この理由を実際に説明することはできません！）γ（I - J ）1/nγ^(i−j)
— Ernesto

回答:

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自己相関関数の定義を使用して合計を表すことから始めましょう。S

S=∑h=1n−1ρ^(h)=∑h=1n−1(1n∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)1n∑t=1n(Xt−X¯)2)

分母は依存しない我々はフロント簡素化し、移動できるように、Σを私たちを与える分子に： S = Σ N - 1 H = 1 Σ N - H T = 1（X T - ˉ X）（X T + H - ˉ X）h∑

S=∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)∑t=1n(Xt−X¯)2

次に、分母を考えます。分子に似た式を取得するには、どのように表現するのでしょうか。セット。次に、∑ n t = 1 Y t = 0です。ここでの分母は∑ n t = 1 Y 2 tです。我々が知っているΣ N T = 1 Y 2、T = （Σ N T = 1のY T ） 2 - 2Yt=Xt−X¯∑t=1nYt=0.∑t=1nYt2、すなわち、すべてのユニークなペアを減算 × 2.ので Σ N T = 1のY T = 0は、その次の Σ N T = 1 Yを2 t = − 2 ∑ n − 1 h = 1 ∑ n − h t∑t=1nYt2=(∑t=1nYt)2−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h×∑t=1nYt=0。∑t=1nYt2=−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h

Xの点でバックを差し込む、分母となる。そして、−2Σh=1ん−1Σt=1ん−h（バツt−バツ¯）（バツt+h−バツ¯）

S=Σh=1ん−1Σt=1ん−h（バツt−バツ¯）（バツt+h−バツ¯）−2Σh=1ん−1Σt=1ん−h（バツt−バツ¯）（バツt+h−バツ¯）=−12

お役に立てれば！

— ディリー・ミンチ
ソース
∑t=1nYt2=(∑t=1nYt)2−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h
— Ernesto
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(∑t=1nYt)2Yt2Y私Yj私≠jY1Y2、Y３Y2Y３、Y4Yん−1Yん−1Yん
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