なぜ分散の平方根をとって標準偏差を作成するのですか？

これが他の場所で回答されている場合は申し訳ありませんが、私はそれを見つけることができませんでした。

標準偏差を作成するために、特に分散の平方根を使用する理由を疑問に思っていますか？有用な値を生成する平方根を取ることについてはどうですか？

ある意味ではこれは些細な質問ですが、別の場合、実際には非常に深いです！

• 他は述べたように、平方根を取ることを意味同じ単位持つ。$\operatorname{Stdev}(X)$$X$

• 平方根を取ることはあなたに与えられる絶対的な均質性別名絶対スケーラビリティを。スカラーおよびランダム変数場合、次のようになります。 絶対均質性である必要性の規範。標準偏差は、が3次元の標準ユークリッドノルムであるのと同様の方法で、ノルム（平均ゼロ確率変数のベクトル空間上）として解釈できます。スペース。標準偏差は、ランダム変数とその平均との間の距離の尺度です。$\alpha$$X$

  $$\operatorname{Stdev}[\alpha X] = |\alpha| \operatorname{Stdev}[X]$$ $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$

標準偏差とノルム$L_2$

有限次元の場合：

で次元ベクトル空間、別名標準ユークリッドノルムノルムは次のように定義されます。$n$$L_2$

より広く言えば、 -normは、番目のルートを絶対パスに取得します。同質性：。$p$ $\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$$p$$\|\alpha \mathbf{x}\|_p = \left( \sum_i |\alpha x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = | \alpha | \left( \sum_i |x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = |\alpha | \|\mathbf{x}\|_p$

重み場合、重み付き和も有効なノルムです。さらに、が確率を表し、場合、標準偏差です$q_i$$\sqrt{\sum_i x_i^2 q_i}$$q_i$$\operatorname{E}[\mathbf{x}] \equiv \sum_i x_i q_i = 0$

無限次元の場合：

無限次元ヒルベルト空間では、同様にノルムを定義できます。$L_2$

場合平均ゼロ確率変数であり、確率測度である、標準偏差は何ですか？同じです：。$X$$P$$\sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$

概要：

平方根をとることは、標準偏差が絶対均質性、つまりノルムの必須特性を満たすことを意味します。

ランダム変数の空間に、ある内積とその内積によって誘発される規範。したがって、標準偏差は、意味のないランダム変数の標準です。 これは、平均から。$\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}[XY]$$\|X\|_2 = \sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$

（技術的ポイント：は標準ですが、標準偏差の要件ので、一般にランダム変数上ノルムないノルム線型空間である場合にのみ 0 doesnの標準偏差」。 tは、確率変数がゼロ要素であることを意味します。）$\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$$\sqrt{\operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]}$$\|x\| = \mathbf{0}$$x = \mathbf{0}$

分散はとして定義されているため、Xとその期待値の差の2乗の期待値です。$X$$V(X) = E(X-E(X))^2$

が秒単位の時間である場合、は秒単位ですが、はあり、は再び秒単位です。$X$$X-E(X)$$V(X)$$\mbox{seconds}^2$$\sqrt{V(X)}$

簡単な答えは、単位が平均と同じスケールであるということです。例：中学生の平均は160cmで、標準偏差（SD）は20cmと推定しています。SDの変動を400 cm ^ 2の分散よりも直感的に把握する方が直感的に簡単です。

もっと簡単に言えば、標準偏差は、平均に関するデータの広がりについて何かを示す正の数を与えるように設計されています。

平均からのすべてのポイントの距離を合計すると、正と負の方向のポイントは平均に引き戻される傾向があり、スプレッドに関する情報が失われます。これが分散を最初に測定する理由です。そのため、すべての距離は2乗によって正の量として保持され、互いに相殺されません。最終的には、開始時の単位を表す正の値が必要です-これは既に上記でコメントされています-したがって、正の平方根を取ります。

それは歴史的な愚かさであり、知的怠lazのために私たちは続けています。彼らは、マイナス記号を取り除くために、平均との差を二乗することを選びました。次に、彼らは平方根を取り、平均と同様の尺度にした。

誰かが新しい統計を生成し、平均からの偏差の絶対値またはモジュラスを使用して分散とSDを計算する必要があります。これは、この二乗全体を取り除き、平方根ビジネスを取ります。