標準偏差の使用は、正規分布の仮定に基づいて構築されていますか？

標準偏差が常に正規分布の仮定に基づいて構築されているのかと思います。つまり、サンプルが正規分布していない場合、標準偏差の使用は間違いと見なす必要がありますか？

いいえ。標準偏差の使用は、正規性を想定していません。

確率変数の分散は、として定義されます。分散が存在する限り、標準偏差も存在します。標準偏差は、分散の平方根です。$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

$\operatorname{Var}(X)$

$X$

正規性に依存する標準偏差の一般的な使用：

$X$$X$

$X$

正規性に依存しない分散の一般的な使用法：

$X$$\operatorname{E}[X] = \mu$$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$$X_i$$i=1, \ldots, n$$X$

$n$

$\bar{X}_n$$\mu$$\frac{\sigma^2}{n}$$\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$n \rightarrow \infty$

$\bar{X}_n$$n$$\frac{\sigma^2}{n}$$X$$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$$X$$n$$X$

$X$$X$

$S^2$$\hat{\sigma}^2_{ML}$$\mathrm{Var}[X_i]$