予測と許容範囲

予測と許容範囲についていくつか質問があります。

最初に許容範囲の定義について合意しましょう。信頼レベル（90％など）、取得する母集団の割合（99％など）、サンプルサイズ（20など）が与えられます。確率分布は既知であり、通常便宜上。ここで、上記の3つの数値（90％、99％、20）と、基礎となる分布が正規であることを前提として、許容誤差の数値計算できます。試料所定のとの平均と標準偏差、公差間隔である $k$ $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ $\bar{x}$ $s$ $\bar{x}\pm ks$ 。この公差は間隔キャプチャ人口の99％にした場合、その後、サンプルと呼ばれ、成功と要件は、サンプルの90％があることである成功。 $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$

コメント：90％は、サンプルが成功するための事前確率です。99％は、サンプルが成功した場合、将来の観測が許容範囲内になる条件付き確率です。

私の質問：予測区間を許容区間として見ることができますか？ウェブ上でこれについて矛盾する答えを得ました。言うまでもなく、予測間隔を慎重に定義した人はいないことは言うまでもありません。したがって、予測間隔（または参照）の正確な定義があれば、私はそれを感謝します。

私が理解したのは、たとえば99％の予測間隔では、すべてのサンプルのすべての将来の値の99％がキャプチャされないということです。これは、人口の99％を100％の確率で取得する許容範囲と同じです。

$(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ $y$ $y$ 、将来の値が与えられ、一定の確率で許容範囲に分類されます。上記の予測間隔の定義が正しいかどうかはわかりませんが、（少なくとも）直感に反するようです。

何か助けは？

prediction prediction-interval tolerance-interval

— イオアニス・ソウルダトス
ソース

99 %

$99\%$

99 %

$99\%$

μ + k σ

$\mu + k\sigma$

k = z_{99 %}

$k=z_{99\%}$

99 %

$99\%$

μ + z_{0.99} σ

$\mu + z_{0.99}\sigma$

μ + z_{0.99} σ

$\mu + z_{0.99}\sigma$

μ - z_{0.99} σ

$\mu - z_{0.99}\sigma$

実際、いいえ、ステファン（これが、パラメーターの式を繰り返すように気を付けた理由です）。以下のための3つの類似した定義もあります下の許容限度は。例えば、私たちはすることがあります下に人口のパーセンタイル-estimate上位99が、私たちは私たちの過小評価は依然として高くなりすぎていることがある（例えば）5％の確率で主張過小評価の量を制御します。これにより、「データは、人口の99パーセンタイルがそのような値を超えていることを95％の信頼度で示しています」のようなことを言うことができます。

— whuber

回答:

定義は正しいようです。

これらの問題について協議する本はある統計間隔（ジェラルド・ハーン＆ウィリアム・ミーカー）、1991年Iの引用：

単一の将来の観測の予測区間は、指定された信頼度で、母集団から次の（または他の事前に指定された）ランダムに選択された観測を含む区間です。

$100(1-\alpha)\%$

$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$ $F_\theta$ $\theta$ $F$ ${F_\theta \vert \theta \in \Theta}$ $X_0$ $F_\theta$ $n$

$[l(\mathbf{x}), u(\mathbf{x})]$

$inf_{θ} {{Pr}_{θ} (X_{0} \in [l (X), u (X)])} = 100 (1 - α) % .$ $\inf_\theta\{{\Pr}_\theta(X_0 \in [l(\mathbf{X}), u(\mathbf{X})])\}= 100(1-\alpha)\%.$
${\Pr}_\theta$ $n+1$ $(X_0, X_1, \ldots, X_n)$ $F_\theta$ $X_0$

$X_i, i=1,\ldots,n$ $X_0$
$(L(\mathbf{x}), U(\mathbf{x})]$

$inf_{θ} {{Pr}_{θ} (F_{θ} (U (X)) - F_{θ} (L (X)) \geq p)} = 100 (1 - α) % .$ $\inf_\theta\{{\Pr}_\theta\left(F_\theta(U(\mathbf{X})) - F_\theta(L(\mathbf{X})\right) \ge p)\} = 100(1-\alpha)\%.$
$X_0$

$\{F_\theta\}$

l (x) = \bar{x} - k (α, n) s, u (x) = \bar{x} + k (α, n) s

$l(\mathbf{x}) = \bar{x} - k(\alpha, n) s, \quad u(\mathbf{x}) = \bar{x} + k(\alpha, n) s$

$\bar{x}$ $s$ $k$ $\mathbf{x}$

同様に、次の形式の許容範囲が存在します。

L (x) = \bar{x} - K (α, n, p) s, U (x) = \bar{x} + K (α, n, p) s .

$L(\mathbf{x}) = \bar{x} - K(\alpha, n, p) s, \quad U(\mathbf{x}) = \bar{x} + K(\alpha, n, p) s.$

他の許容範囲の手順があります：これらは唯一のものではありません。

これらの式のペア間の類似性に注意して、方程式を解くことができます

k (α, n) = K (α^{'}, n, p) .

$k(\alpha, n) = K(\alpha', n, p).$

$\alpha'$ $p$ $\alpha$ $\alpha'$ $p$

— whuber
ソース

これらの間隔の混乱は本当です。10年前、私は政府の統計学者といくつかの難しい会話をしました。彼らはその違いを知らず、そこに（激しく）違いがあることを認識できませんでした。ガイダンスの作成、レポートのレビュー、ケースワーカーへのアドバイス、ソフトウェアの配布、さらにはピアレビューされた出版物における彼女の顕著な役割は、これらの誤解の継続を促進しています。要注意！

— whuber

p = 50 %

$p=50\%$

k (α, n) = K (α, n, 0.5)

$k(\alpha,n)=K(\alpha,n,0.5)$

n

$n$

p = 50 %

$p=50\%$

X_{0}

$X_0$

k (α, n) \approx K (50 %, n, 1 - α)

$\boxed{k(\alpha,n) \approx K(50\%,n,1-\alpha)}$

n

$n$

K

$K$

50 %

$50\%$

z_{1 - α} / \sqrt{n}

$z_{1-\alpha}/\sqrt{n}$

@whuber。答えてくれてありがとう。正しいとマークする前に、それを理解していることを確認する必要があります。「ダイジェスト」する時間をください。

— Ioannis Souldatos

$K(\alpha,p)$

— スコットP.
ソース