指数関数より大きいガンマの確率

LETと。 $X \sim Gamma(3,3)$ $Y \sim Exp(1)$

を計算するにはどうすればよいですか？ $P(X>Y)$

に書き換えると思いますが、2つの異なる分布のを計算する方法がわかりません。 $P(X-Y>0)$ $X-Y$

probability distributions exponential

ガンマ確率変数

— COOLSerdash

ここにあなたの問題を扱っている記事があります。あなたの場合、密集した密度が得られると思います。標準の指数分布が分布であることを確認してください。

X - Y

$X-Y$

G a m m a (1, 1)

$\mathrm{Gamma}(1, 1)$

— COOLSerdash 2017年

@COOLそのアプローチは機能しますが、単一の確率を見つけるのは非常に複雑な方法のようです。差の分布全体を把握する必要はありません。

— whuber

重要な前提独立のと不足しています。

X

$X$

Y

$Y$

— StubbornAtom

回答:

場合密度関数を有すると独立は密度関数、次に $X$ $\lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{\{x\colon x > 0\}}$ $Y$ $\exp(-y)\mathbf 1_{\{y\colon x > 0\}}$

\begin{aligned} P {X < Y} & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- λ x) \int_{x}^{\infty} \exp (- y) d y d x \\ = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- (λ + 1) x) d x \\ = {(\frac{λ}{λ + 1})}^{3} \int_{0}^{\infty} (λ + 1) \frac{((λ + 1) x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- (λ + 1) x) d x \\ = {(\frac{λ}{λ + 1})}^{3} . \end{aligned}

$\begin{align} P\{X < Y\} &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x) \int_{x}^\infty \exp(-y)\, \mathrm dy \, \mathrm dx\\ &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3\int_{0}^\infty (\lambda+1) \frac{((\lambda+1) x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3. \end{align}$

到着率がポアソン過程も考えてみましょう。このプロセスを2つの独立したポアソンサブプロセスとをそれぞれレートと分解して、各到着をプロセス（確率）またはプロセスに（確率）、各ラベルは他のすべてのラベルから独立して選択されます。次に、をの3番目の到着時刻（後）とことができます。 $\lambda+1$ $\mathcal X$ $\mathcal Y$ $\lambda$ $1$ $\mathcal X$ $\frac{\lambda}{\lambda+1}$ $\mathcal Y$ $\frac{1}{\lambda+1}$ $X$ $t = 0$ $\mathcal X$ サブプロセスながら、（後の最初の到着時間でありで）サブプロセス。この解釈では、は後の最初の3つの到着がすべてサブプロセスに属するものとしてラベル付けされたイベントであり、このイベントは確率。ほら、マ！答えに到達するまでに積分は計算されませんでした！ $Y$ $t = 0$ $\mathcal Y$ $X < Y$ $t=0$ $\mathcal X$ $\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3$

— ディリップ・サルワテ
ソース

ガンマ確率変数とベータ確率変数の間には関係があり、2つの独立したガンマ確率変数の一般式が導かれます。 $P[X>Y]$

もしとここで形状パラメータであり、スケールパラメータであり、そして平均であるその後、 $X \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,\beta_1)$ $Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_2),$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha \beta,$

P [X > Y] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}),

$P[X>Y] = H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$

ここで、はベータ確率変数の累積分布関数です。あなたの場合、私はを計算します $H$ $P[X>Y]=0.984375$

ガンマ分布の別のパラメーター化を使用した場合、これを調整する必要があります。

これが開発です。我々が構築することができると次に、 $\beta_1Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_1\beta_2)$ $\beta_2X \sim \rm{Gamma} (\alpha_1,\beta_1 \beta_2).$

W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X}

$W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}$

は、最初の形状パラメーターがで2番目の形状パラメーターがベータ分布があることが知られています（https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution、「関連する分布とプロパティ」セクションを参照） $W$ $\alpha_2$ $\alpha_1.$

したがって、

P [W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X} < \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}),

$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$

ここで、はベータ確率変数の累積分布関数です。 $H$

逆数を取って単純化すると、

P [W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X} < \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}] = P [\frac{β_{1} Y + β_{2} X}{β_{1} Y} > \frac{β_{1} + β_{2}}{β_{1}}]

$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=P \left[ \frac{\beta_1Y+\beta_2X}{\beta_1Y} > \frac{\beta_1+\beta_2}{\beta_1} \right]$

= P [1 + \frac{β_{2} X}{β_{1} Y} > 1 + \frac{β_{2}}{β_{1}}] = P [\frac{X}{Y} > 1] = P [X > Y] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}})

$= P \left[ 1 + \frac{\beta_2X}{\beta_1Y}>1+\frac{\beta_2}{\beta_1} \right]=P \left[ \frac{X}{Y} >1 \right] =P \left[ X>Y \right] =H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right)$

— Soakley
ソース

この結果を示したり、アクセス可能な参照を引用したりできますか？なぜそれが本当であるはずなのかを理解するのに苦労しています。たとえば、とし、が大きくなるとどうなるかを考えます。右側は下からに近づきますが、左側はに近づくはずです。

α_{1} = α_{2} = β_{2} = 1

$\alpha_1=\alpha_2=\beta_2=1$

β_{1}

$\beta_1$

F_{1, 1} (1) = 0.391826 \dots

$F_{1,1}(1) = 0.391826\ldots$

1

$1$

— whuber

どこで入手できますか？前述のように、はベータ確率変数の累積分布関数です。したがって、しかし、この表記が誤解を招く可能性があることはわかります。時間があれば、結果を表示するための開発を追加します。

F_{1, 1} (1) = 0.391826

$F_{1,1}(1)=0.391826$

F

$F$

F_{1, 1} (1) = 1.

$F_{1,1}(1)=1.$

— soakley 2017年

申し訳ありませんが、「ベータ」の部分を見落として、あなたが（密接に関連している）F比率分布を参照していると仮定しました！説明していただきありがとうございます。

— whuber

@whuber soakleyこれは次のようになると思います： whereとはと単位スケーリングバージョンです。使用（ウィキペディア）、その注目、与え。

P [X > Y] = P [Y^{*} < \frac{β_{2}}{β_{1}} X^{*}]

$P[X>Y] = P[Y^* < \frac{\beta_2}{\beta_1} X^*]$

X^{*} \sim G a m m a (α_{1}, 1)

$X^* \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,1)$

Y^{*} \sim G a m m a (α_{2}, 1)

$Y^* \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,1)$

X

$X$

Y

$Y$

\frac{Y^{*}}{Y^{*} + X^{*}} \sim B e t a (α_{2}, α_{1})

$\frac{Y^*}{Y^*+X^*} \sim \rm{Beta}(\alpha_2,\alpha_1)$

P [\frac{Y^{*}}{Y^{*} + X^{*}} < c] = P [Y^{*} < \frac{c}{1 - c} X^{*}]

$P[\frac{Y^*}{Y^*+X^*} < c] = P[Y^* < \frac{c}{1-c}X^*]$

\frac{c}{1 - c} = \frac{β_{2}}{β_{1}}

$\frac{c}{1-c} = \frac{\beta_2}{\beta_1}$

c = \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}

$c = \frac{\beta_1}{\beta_1 + \beta_2}$

— A. Webb 2017年

はい、開発を追加し、分布との混同を避けるためにベータcdfをとして指定するように変更しました。

H

$H$

F

$F$

— soakley 2017年

を計算する適切な方法は、二重積分による $P[Y>X]$

\int_{0}^{\infty} f_{X} (x) d x \int_{x}^{\infty} f_{Y} (y) d y

$\int_0^\infty f_X(x) dx \int_x^\infty f_Y(y) dy$

内側積分は、の生存関数として認識することができる場合、指数関数とパラメータで、に等しい。次に残りの積分 $Y$ $\lambda=1$ $x$ $e^{-x}$

\int_{0}^{\infty} e^{- x} f_{X} (x) d x

$\int_0^\infty e^{-x} f_X(x) dx$

評価されるモーメント母関数として認識されます。のMGF はで、は $X$ $-1$ $\rm{Gamma}$ $(1-\theta t)^{-k}$ $\theta = 3, k=3, t=-1$

(1 + 3)^{- 3} = 0.015625

$(1+3)^{-3} = 0.015625$

問題はだったので、 $P[X>Y] = 1-P[Y>X]$

1 - (1 + 3)^{- 3} = 1 - 0.015625 = 0.984375

$1-(1+3)^{-3} = 1-0.015625 = 0.984375$

これはsoakleyの回答に同意します。

— A.ウェッブ
ソース